- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「円に内接する四角形の面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜円に内接する四角形の面積
図形と計量（三角比） 39円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=4~,~\)\(\angle {\rm ABC}=60^\circ\) のとき、対角線 \({\rm AC}\) の長さ、\({\rm AD}\) の長さ、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積の求め方は？また、円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=2~,~\)\({\rm AD}=4\) のとき、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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円に内接する四角形の面積
解法のPoint
円に内接する四角形の面積(3辺1角)
Point：円に内接する四角形の面積(3辺1角)3つの辺と1つの角が与えられた、円に内接する四角形の面積は、
① 対角線 \({\rm AC}\) で \(2\) つの三角形に分けて、\({\rm \triangle ABC}\) の余弦定理で \({\rm AC}\) を求める。
\({\rm AC}^2=4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ\)
② 円に内接する四角形の対角の和が \(180^\circ\) より \(\angle {\rm D}\) を求め、\({\rm \triangle ACD}\) の余弦定理で \({\rm AD}\) を求める。
\((\sqrt{21})^2={\rm AD}^2+4^2-2 \cdot {\rm AD} \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ\)
③ \(2\) つの \({\rm \triangle ABC}\) と \({\rm \triangle ACD}\) の面積を求めて、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積を求める。
① 対角線 \({\rm AC}\) で \(2\) つの三角形に分けて、\({\rm \triangle ABC}\) の余弦定理で \({\rm AC}\) を求める。
\({\rm AC}^2=4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ\)
② 円に内接する四角形の対角の和が \(180^\circ\) より \(\angle {\rm D}\) を求め、\({\rm \triangle ACD}\) の余弦定理で \({\rm AD}\) を求める。
\((\sqrt{21})^2={\rm AD}^2+4^2-2 \cdot {\rm AD} \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ\)
③ \(2\) つの \({\rm \triangle ABC}\) と \({\rm \triangle ACD}\) の面積を求めて、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積を求める。
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円に内接する四角形の面積(4辺)
Point：円に内接する四角形の面積(4辺)
① 対角線 \({\rm AC}\) で \(2\) つの三角形に分けて、\({\rm \triangle ABC}\) と \({\rm \triangle ACD}\) のそれぞれで余弦定理を用いる。
円に内接する四角形の対角の和が \(180^\circ\) より、
\(\angle {\rm B}=\theta\) とすると \(\angle {\rm D}=180^\circ-\theta\)
\({\rm AC}^2=4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos \theta\)
\({\rm AC}^2=4^2+2^2-2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos (180^\circ-\theta)\)
※ \(\cos (180^\circ-\theta)=-\cos \theta\)
② \(2\) つの式を連立して \(\cos \theta\) を求め、相互関係の公式より \(\sin \theta\) を求める。
\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\)
③ \(2\) つの \({\rm \triangle ABC}\) と \({\rm \triangle ACD}\) の面積を求めて、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積を求める。
4つの辺が与えられた、円に内接する四角形の面積は、
① 対角線 \({\rm AC}\) で \(2\) つの三角形に分けて、\({\rm \triangle ABC}\) と \({\rm \triangle ACD}\) のそれぞれで余弦定理を用いる。
円に内接する四角形の対角の和が \(180^\circ\) より、
\(\angle {\rm B}=\theta\) とすると \(\angle {\rm D}=180^\circ-\theta\)
\({\rm AC}^2=4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos \theta\)
\({\rm AC}^2=4^2+2^2-2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos (180^\circ-\theta)\)
※ \(\cos (180^\circ-\theta)=-\cos \theta\)
② \(2\) つの式を連立して \(\cos \theta\) を求め、相互関係の公式より \(\sin \theta\) を求める。
\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\)
③ \(2\) つの \({\rm \triangle ABC}\) と \({\rm \triangle ACD}\) の面積を求めて、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積を求める。
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詳しい解説｜円に内接する四角形の面積
図形と計量（三角比） 39円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=4~,~\)\(\angle {\rm ABC}=60^\circ\) のとき、対角線 \({\rm AC}\) の長さ、\({\rm AD}\) の長さ、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積の求め方は？また、円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=2~,~\)\({\rm AD}=4\) のとき、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({\rm \triangle ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&16+25-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&41-20
\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)
\({\rm AC} \gt 0\) より、\({\rm AC}=\sqrt{21}\)
また、円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm B}+\angle {\rm D}&=&180^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm D}&=&180^\circ-60^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm D}&=&120^\circ\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm AD}=x\) として、\({\rm \triangle ACD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{21})^2&=&x^2+4^2-2 \cdot x \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ
\\[3pt]~~~21&=&x^2+16-8x \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~0&=&x^2+16-21+4x
\\[3pt]~~~x^2+4x-5&=&0
\\[3pt]~~~(x+5)(x-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(x \gt 0\) より、\(x={\rm AD}=1\)
\({\rm \triangle ABC}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=5\) とその間の角 \(60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&5\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
\({\rm \triangle ACD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AD}=1~,~{\rm CD}=4\) とその間の角 \(120^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ACD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積は、
\(5\sqrt{3}+\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)
したがって、
\({\rm AC}=\sqrt{21}~,~{\rm AD}=1~,~\)面積 \(6\sqrt{3}\) となる
対角線 \({\rm AC}\) を引き、\(\angle {\rm ABC}=\theta\) とすると、円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\angle {\rm ADC}=180^\circ-\theta\)
よって、\({\rm \triangle ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&16+25-40\cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&41-40\cos \theta~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\({\rm \triangle ACD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、\(\cos (180^\circ-\theta)=-\cos \theta\) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&4^2+2^2-2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos (180^\circ-\theta)
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&16+4-16 \cdot (-\cos \theta)
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&20+16\cos \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~41-40\cos \theta&=&20+16\cos \theta
\\[3pt]~~~-40\cos \theta-16\cos \theta&=&20-41
\\[3pt]~~~-56\cos \theta&=&-21
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,56\,}
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
ここで、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\cos^2 \theta
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64-9\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,55\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、\(\sin \theta \gt 0\) より、
\(\sin \theta=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,55\,}{\,64\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{55}\,}{\,8\,}\)
\({\rm \triangle ABC}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=5\) とその間の角 \(\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{55}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{55}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm \triangle ACD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AD}=4~,~{\rm CD}=2\) とその間の角 \(180^\circ-\theta\) と \(\sin (180^\circ-\theta)=\sin \theta\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ACD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin (180^\circ-\theta)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{55}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{55}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{55}\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{55}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{55}+2\sqrt{55}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\sqrt{55}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,7\sqrt{55}\,}{\,4\,}\) となる
