- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角形の面積と内接円の半径」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の面積と内接円の半径
図形と計量（三角比） 40\({\rm \triangle ABC}\) において、\(a=5~,~\)\(b=6~,~\)\(c=7\) のとき、\({\rm \triangle ABC}\) の内接円の半径 \(r\) の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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三角形の面積と内接円の半径
解法のPoint
三角形の面積と内接円の半径
Point：三角形の面積と内接円の半径三角形の \(3\) 辺の長さと、この三角形の内接円の半径 \(r\) は、
① \(3\) 辺の長さ \(a~,~b~,~c\) より余弦定理を用いて、\(\cos {A}\) の値を求める。
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}\)
② 相互関係の公式より、\(\cos {A}\) の値から \(\sin {A}\) の値を求める。
\(\sin^2 {A}=1-\cos^2 {A}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\)
③ 2辺の長さとその間の角の正弦（\(\sin\)）の値より、\({\rm \triangle ABC}\) の面積を求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
④ 内接円の半径 \(r\) と周の長さと面積の公式より、内接円の半径 \(r\) を求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)
① \(3\) 辺の長さ \(a~,~b~,~c\) より余弦定理を用いて、\(\cos {A}\) の値を求める。
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}\)
② 相互関係の公式より、\(\cos {A}\) の値から \(\sin {A}\) の値を求める。
\(\sin^2 {A}=1-\cos^2 {A}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\)
③ 2辺の長さとその間の角の正弦（\(\sin\)）の値より、\({\rm \triangle ABC}\) の面積を求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
④ 内接円の半径 \(r\) と周の長さと面積の公式より、内接円の半径 \(r\) を求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)
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詳しい解説｜三角形の面積と内接円の半径
図形と計量（三角比） 40\({\rm \triangle ABC}\) において、\(a=5~,~\)\(b=6~,~\)\(c=7\) のとき、\({\rm \triangle ABC}\) の内接円の半径 \(r\) の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({\rm \triangle ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}
\\[3pt]~~~5^2&=&6^2+7^2-2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~84\cos {A}&=&36+49-25
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,84\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,25\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49-25\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,49\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,24\,}{\,49\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=6~,~c=7\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,7\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&6\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
ここで、内接円の半径 \(r\) と周の長さと面積の公式より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)
これより、\(S=6\sqrt{6}~,~\)\(a=5~,~\)\(b=6~,~\)\(c=7\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~6\sqrt{6}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot (5+6+7)
\\[5pt]~~~6\sqrt{6}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot 18
\\[5pt]~~~6\sqrt{6}&=&9r
\\[3pt]~~~9r&=&6\sqrt{6}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,6\sqrt{6}\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,3\,}\) となる
