- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「立体内部の三角形の面積と垂線の長さ」の基本例題解説ページです。
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問題｜立体内部の三角形の面積と垂線の長さ
図形と計量（三角比） 41直方体 \({\rm ABCD-EFGH}\) において、\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AD}=2~,~\)\({\rm AE}=1\) のとき、\(\cos \angle {\rm ACF}\)、\(\triangle {\rm AFC}\) の面積、三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 \(V\)、点 \({\rm B}\) から \(\triangle {\rm AFC}\) に下ろした垂線 \({\rm BI}\) の長さの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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立体内部の三角形の面積と垂線の長さ
解法のPoint
立体内部の三角形の面積と垂線の長さ
Point：立体内部の三角形の面積と垂線の長さ立体の内部にある三角形の面積は、
① 切り取られる三角形の \(3\) 辺の長さを求める。
三平方の定理より、
\({\rm AF}=\sqrt{\,10\,}~,~{\rm AC}=\sqrt{\,13\,}~,~{\rm CF}=\sqrt{\,5\,}\)
② 三角形の \(3\) 辺より、余弦定理を用いて \(\cos \angle {\rm ACF}\) を求める。
③ 相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より \(\sin \angle {\rm ACF}\) を求める。
④ 三角形の面積を求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,{\rm AC}\cdot{\rm CF}\,\sin \angle {\rm ACF}\)
① 底面 \(\triangle {\rm ABC}\)、高さ \({\rm BF}\) として、三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 \(V\)を求める。
② 底面 \(\triangle {\rm AFC}\)、高さ \({\rm BI}\) としたときの三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 を考えて、垂線 \({\rm BI}\) の長さを求める。
① 切り取られる三角形の \(3\) 辺の長さを求める。
三平方の定理より、
\({\rm AF}=\sqrt{\,10\,}~,~{\rm AC}=\sqrt{\,13\,}~,~{\rm CF}=\sqrt{\,5\,}\)
② 三角形の \(3\) 辺より、余弦定理を用いて \(\cos \angle {\rm ACF}\) を求める。
③ 相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より \(\sin \angle {\rm ACF}\) を求める。
④ 三角形の面積を求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,{\rm AC}\cdot{\rm CF}\,\sin \angle {\rm ACF}\)
さらに、点 \({\rm B}\) から \(\triangle {\rm AFC}\) に下ろした垂線 \({\rm BI}\) の長さは、
① 底面 \(\triangle {\rm ABC}\)、高さ \({\rm BF}\) として、三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 \(V\)を求める。
② 底面 \(\triangle {\rm AFC}\)、高さ \({\rm BI}\) としたときの三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 を考えて、垂線 \({\rm BI}\) の長さを求める。
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詳しい解説｜立体内部の三角形の面積と垂線の長さ
図形と計量（三角比） 41直方体 \({\rm ABCD-EFGH}\) において、\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AD}=2~,~\)\({\rm AE}=1\) のとき、\(\cos \angle {\rm ACF}\)、\(\triangle {\rm AFC}\) の面積、三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 \(V\)、点 \({\rm B}\) から \(\triangle {\rm AFC}\) に下ろした垂線 \({\rm BI}\) の長さの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({\rm AC}\) は長方形 \({\rm ABCD}\) の対角線より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}&=&\sqrt{\,3^2+2^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+4\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,13\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm AF}\) は長方形 \({\rm ABFE}\) の対角線より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AF}&=&\sqrt{\,3^2+1^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,10\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm CF}\) は長方形 \({\rm BFGC}\) の対角線より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CF}&=&\sqrt{\,1^2+2^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm AFC}\) の \(\angle {\rm ACF}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{\,10\,})^2&=&(\sqrt{\,13\,})^2+(\sqrt{\,5\,})^2-2 \cdot \sqrt{\,13\,} \cdot \sqrt{\,5\,} \cdot \cos \angle {\rm ACF}\\[3pt]~~~10&=&13+5-2\sqrt{\,65\,}\cos \angle {\rm ACF}\\[3pt]~~~2\sqrt{\,65\,}\cos \angle {\rm ACF}&=&8\\[5pt]~~~\cos \angle {\rm ACF}&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,2\sqrt{\,65\,}\,}\\[5pt]~~~\cos \angle {\rm ACF}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \angle {\rm ACF}&=&1-\cos^2 \angle {\rm ACF}\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,65\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,65-16\,}{\,65\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49\,}{\,65\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \angle {\rm ACF} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \angle {\rm ACF}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,49\,}{\,65\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm AFC}\) の面積は、\({\rm AC}=\sqrt{\,13\,}~,~\)\({\rm CF}=\sqrt{\,5\,}\)、間の角の \(\sin \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm AFC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \sqrt{\,13\,} \cdot \sqrt{\,5\,} \cdot \displaystyle \frac{\,7\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
次に、三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 \(V\) は、
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,} 2\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
これより、三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 \(V\) を、底面を \(\triangle {\rm ABC}=3\)、高さが \({\rm BF}=1\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,} 1\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
点 \({\rm B}\) から \(\triangle {\rm AFC}\) に下ろした垂線 \({\rm BI}\) は、三角錐 \({\rm BAFC}\) の底面を \(\triangle {\rm AFC}\) としたときの高さであるので、
\(V=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \triangle {\rm AFC} {\, \small \times \,} {\rm BI}\)
\(V=1~,~\)\(\triangle {\rm AFC}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} {\rm BI}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}{\rm BI}&=&1\\[5pt]~~~{\rm BI}&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos \angle {\rm ACF}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,65\,}\,}~,~\)\(\triangle {\rm AFC}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)
\(V=1~,~\)\({\rm BI}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,7\,}\)
となる
