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三角形の面積と内接円の半径 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a=7~,~b=5~,~c=4\) である \(\triangle {\rm ABC}\) の内接円の半径 \(r\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.166 練習33
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5^2+4^2-7^2\,}{\,2 \cdot 5 \cdot 4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25+16-49\,}{\,40\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8\,}{\,40\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-1\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=5~,~c=4\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)
ここで、内接円の半径 \(r\) と周の長さと面積の公式より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)
これより、\(S=4\sqrt{\,6\,}~,~a=7~,~b=5~,~c=4\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\sqrt{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot (7+5+4)
\\[5pt]~~~4\sqrt{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot 16
\\[5pt]~~~4\sqrt{\,6\,}&=&8r
\\[3pt]~~~8r&=&4\sqrt{\,6\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,6\,}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=4~,~b=3~,~c=2\) のとき、この三角形の内接円の半径 \(r\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.159 練習32
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^2+2^2-4^2\,}{\,2 \cdot 3 \cdot 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9+4-16\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-1\,}{\,16\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=3~,~c=2\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
ここで、内接円の半径 \(r\) と周の長さと面積の公式より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)
これより、\(S=\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~a=4~,~b=3~,~c=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot (4+3+2)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot 9
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}r
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}r&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,6\sqrt{\,15\,}\,}{\,36\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot 9
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}r
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}r&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,6\sqrt{\,15\,}\,}{\,36\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(r=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,6\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(3\) 辺の長さが \(a=5~,~b=7~,~c=8\) である \(\triangle {\rm ABC}\) について、次のものを求めよ。
\({\small (1)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) \({\small (2)}~\)内接円の半径 \(r\)
\({\small (1)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) \({\small (2)}~\)内接円の半径 \(r\)
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.162 研究 練習1
\({\small (1)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7^2+8^2-5^2\,}{\,2 \cdot 7 \cdot 8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49+64-25\,}{\,112\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,88\,}{\,112\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,14\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7^2+8^2-5^2\,}{\,2 \cdot 7 \cdot 8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49+64-25\,}{\,112\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,88\,}{\,112\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,14\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,14\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,121\,}{\,196\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,196-121\,}{\,196\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,75\,}{\,196\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,75\,}{\,196\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,3\,}\,}{\,14\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=7~,~c=8\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,3\,}\,}{\,14\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,3\,}\,}{\,14\,}
\\[5pt]~~~&=&10\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(S=10\sqrt{\,3\,}\) となる
\({\small (2)}~\)内接円の半径 \(r\)
内接円の半径 \(r\) と周の長さと面積の公式より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)
これより、\(S=10\sqrt{\,3\,}~,~a=5~,~b=7~,~c=8\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~10\sqrt{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot (5+7+8)
\\[5pt]~~~10\sqrt{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot 20
\\[5pt]~~~10\sqrt{\,3\,}&=&10r
\\[3pt]~~~10r&=&10\sqrt{\,3\,}
\\[3pt]~~~r&=&\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=\sqrt{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(a=7~,~b=6~,~c=5\) である \(\triangle {\rm ABC}\) の内接円の半径 \(r\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.162 問15
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6^2+5^2-7^2\,}{\,2 \cdot 6 \cdot 5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36+25-49\,}{\,60\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,60\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6^2+5^2-7^2\,}{\,2 \cdot 6 \cdot 5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36+25-49\,}{\,60\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,60\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-1\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=6~,~c=5\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&6\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)
ここで、内接円の半径 \(r\) と周の長さと面積の公式より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)
これより、\(S=6\sqrt{\,6\,}~,~a=7~,~b=6~,~c=5\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~6\sqrt{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot (7+6+5)
\\[5pt]~~~6\sqrt{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot 18
\\[5pt]~~~6\sqrt{\,6\,}&=&9r
\\[3pt]~~~9r&=&6\sqrt{\,6\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,6\sqrt{\,6\,}\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(b=7~,~c=8~,~A=120^\circ\) のとき、この三角形の内接円の半径 \(r\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.160 参考 問1
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=7~,~c=8\) とその間の角 \({A}=120^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&14\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
次に、\(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}
\\[3pt]~~~&=&7^2+8^2-2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ
\\[5pt]~~~&=&49+64-112 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&113+56
\\[3pt]~~~&=&169\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、
\(a=\sqrt{\,169\,}=13\)
ここで、内接円の半径 \(r\) と周の長さと面積の公式より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)
これより、\(S=14\sqrt{\,3\,}~,~a=13~,~b=7~,~c=8\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~14\sqrt{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot (13+7+8)
\\[5pt]~~~14\sqrt{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot 28
\\[5pt]~~~14\sqrt{\,3\,}&=&14r
\\[3pt]~~~14r&=&14\sqrt{\,3\,}
\\[3pt]~~~r&=&\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=\sqrt{\,3\,}\) となる
