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円に内接する四角形の面積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=5~,~{\rm BC}=8~,~{\rm CD}=3~,~\angle {\rm B}=60^\circ\) とするとき、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.165 練習32
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&5^2+8^2-2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&25+64-2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&89-40
\\[3pt]~~~&=&49\end{eqnarray}\)
\({\rm AC} \gt 0\) より、
\({\rm AC}=\sqrt{\,49\,}=7\)
また、円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm B}+\angle {\rm D}&=&180^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm D}&=&180^\circ-60^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm D}&=&120^\circ\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm AD}=x\) として、\(\triangle {\rm ACD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&{\rm CD}^2+{\rm AD}^2-2 \cdot {\rm CD} \cdot {\rm AD} \cdot \cos {D}
\\[3pt]~~~7^2&=&3^2+x^2-2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos 120^\circ
\\[3pt]~~~49&=&9+x^2-6x \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~49&=&9+x^2+3x
\\[3pt]~~~0&=&x^2+3x-40
\\[3pt]~~~x^2+3x-40&=&0
\\[3pt]~~~(x+8)(x-5)&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~7^2&=&3^2+x^2-2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos 120^\circ
\\[3pt]~~~49&=&9+x^2-6x \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~49&=&9+x^2+3x
\\[3pt]~~~0&=&x^2+3x-40
\\[3pt]~~~x^2+3x-40&=&0
\\[3pt]~~~(x+8)(x-5)&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x \gt 0\) より、
\(x={\rm AD}=5\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AB}=5~,~{\rm BC}=8\) とその間の角 \(60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&10\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ACD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AD}=5~,~{\rm CD}=3\) とその間の角 \(120^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ACD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin 120^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm ACD}
\\[5pt]~~~&=&10\sqrt{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40\sqrt{\,3\,}+15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,55\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,55\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=5~,~{\rm BC}=4~,~{\rm CD}=4~,~{\rm DA}=2\) であるとき、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.172 演習問題A 6
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.166 章末問題B 7
対角線 \({\rm AC}\) を引き、\(\angle {\rm ABC}=\theta\) とすると、円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\angle {\rm ADC}=180^\circ-\theta\)
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&5^2+4^2-2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&25+16-40\cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&41-40\cos \theta~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle {\rm ACD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、\(\cos (180^\circ-\theta)=-\cos \theta\) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&2^2+4^2-2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos (180^\circ-\theta)
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&4+16-16 \cdot (-\cos \theta)
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&20+16\cos \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~41-40\cos \theta&=&20+16\cos \theta
\\[3pt]~~~-40\cos \theta-16\cos \theta&=&20-41
\\[3pt]~~~-56\cos \theta&=&-21
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,56\,}
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
ここで、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\cos^2 \theta
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64-9\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,55\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、\(\sin \theta \gt 0\) より、
\(\sin \theta=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,55\,}{\,64\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,8\,}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AB}=5~,~{\rm BC}=4\) とその間の角 \(\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ACD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm DA}=2~,~{\rm CD}=4\) とその間の角 \(180^\circ-\theta\) と \(\sin (180^\circ-\theta)=\sin \theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ACD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin (180^\circ-\theta)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,55\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,55\,}+2\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,7\sqrt{\,55\,}\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=5~,~{\rm BC}=4~,~{\rm CD}=4~,~\angle {\rm B}=60^\circ\) のとき、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.158 練習31
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.161 問14
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.159 Challenge 問1
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&5^2+4^2-2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&25+16-2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&41-20
\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)
\({\rm AC} \gt 0\) より、
\({\rm AC}=\sqrt{\,21\,}\)
また、円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm B}+\angle {\rm D}&=&180^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm D}&=&180^\circ-60^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm D}&=&120^\circ\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm AD}=x\) として、\(\triangle {\rm ACD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&{\rm CD}^2+{\rm AD}^2-2 \cdot {\rm CD} \cdot {\rm AD} \cdot \cos {D}
\\[3pt]~~~(\sqrt{\,21\,})^2&=&4^2+x^2-2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos 120^\circ
\\[3pt]~~~21&=&16+x^2-8x \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~21&=&16+x^2+4x
\\[3pt]~~~0&=&x^2+4x-5
\\[3pt]~~~x^2+4x-5&=&0
\\[3pt]~~~(x+5)(x-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\sqrt{\,21\,})^2&=&4^2+x^2-2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos 120^\circ
\\[3pt]~~~21&=&16+x^2-8x \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~21&=&16+x^2+4x
\\[3pt]~~~0&=&x^2+4x-5
\\[3pt]~~~x^2+4x-5&=&0
\\[3pt]~~~(x+5)(x-1)&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x \gt 0\) より、
\(x={\rm AD}=1\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AB}=5~,~{\rm BC}=4\) とその間の角 \(60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&5\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ACD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AD}=1~,~{\rm CD}=4\) とその間の角 \(120^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ACD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm ACD}
\\[5pt]~~~&=&5\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,3\,}
\\[3pt]~~~&=&6\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=6\sqrt{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\(\angle {\rm A}=60^\circ~,~{\rm AB}=8~,~{\rm BC}=3~,~{\rm DA}=5\) のとき、次のものを求めよ。
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm BD}\) の長さ
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm CD}\) の長さ
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm BD}\) の長さ
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm CD}\) の長さ
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.167 補充問題 5
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm BD}\) の長さ
\(\triangle {\rm ABD}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&{\rm AB}^2+{\rm DA}^2-2 \cdot {\rm AB} \cdot {\rm DA} \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~&=&8^2+5^2-2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&64+25-2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&89-40
\\[3pt]~~~&=&49\end{eqnarray}\)
\({\rm BD} \gt 0\) より、
\({\rm BD}=\sqrt{\,49\,}=7\)
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm CD}\) の長さ
円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm A}+\angle {\rm C}&=&180^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm C}&=&180^\circ-60^\circ
\\[3pt]~~~\angle {\rm C}&=&120^\circ\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm CD}=x\) として、\(\triangle {\rm BCD}\) の \(\angle {\rm C}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&{\rm BC}^2+{\rm CD}^2-2 \cdot {\rm BC} \cdot {\rm CD} \cdot \cos {C}
\\[3pt]~~~7^2&=&3^2+x^2-2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos 120^\circ
\\[3pt]~~~49&=&9+x^2-6x \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~49&=&9+x^2+3x
\\[3pt]~~~0&=&x^2+3x-40
\\[3pt]~~~x^2+3x-40&=&0
\\[3pt]~~~(x+8)(x-5)&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~7^2&=&3^2+x^2-2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos 120^\circ
\\[3pt]~~~49&=&9+x^2-6x \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~49&=&9+x^2+3x
\\[3pt]~~~0&=&x^2+3x-40
\\[3pt]~~~x^2+3x-40&=&0
\\[3pt]~~~(x+8)(x-5)&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x \gt 0\) より、
\(x={\rm CD}=5\)
したがって、\({\rm BD}=7~,~{\rm CD}=5\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05台形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AD}\,/\!/\,{\rm BC}~,~\)\({\rm AB}=2~,~\)\({\rm BC}=4~,~\)\({\rm CD}=\sqrt{\,7\,}~,~\)\({\rm DA}=1\) のとき、この台形の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.168 章末問題A 3
対角線 \({\rm AC}\) を引くと、\({\rm AD}\,/\!/\,{\rm BC}\) より錯角は等しいので、\(\angle {\rm ACB}=\angle {\rm DAC}=\theta\) とおく
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm ACB}=\theta\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&{\rm AC}^2+{\rm BC}^2-2 \cdot {\rm AC} \cdot {\rm BC} \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~2^2&=&{\rm AC}^2+4^2-2 \cdot {\rm AC} \cdot 4 \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~4&=&{\rm AC}^2+16-8{\rm AC}\cos \theta
\\[3pt]~~~8{\rm AC}\cos \theta&=&{\rm AC}^2+12~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2^2&=&{\rm AC}^2+4^2-2 \cdot {\rm AC} \cdot 4 \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~4&=&{\rm AC}^2+16-8{\rm AC}\cos \theta
\\[3pt]~~~8{\rm AC}\cos \theta&=&{\rm AC}^2+12~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle {\rm ACD}\) の \(\angle {\rm DAC}=\theta\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CD}^2&=&{\rm AD}^2+{\rm AC}^2-2 \cdot {\rm AD} \cdot {\rm AC} \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~(\sqrt{\,7\,})^2&=&1^2+{\rm AC}^2-2 \cdot 1 \cdot {\rm AC} \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~7&=&1+{\rm AC}^2-2{\rm AC}\cos \theta
\\[3pt]~~~2{\rm AC}\cos \theta&=&{\rm AC}^2-6~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\sqrt{\,7\,})^2&=&1^2+{\rm AC}^2-2 \cdot 1 \cdot {\rm AC} \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~7&=&1+{\rm AC}^2-2{\rm AC}\cos \theta
\\[3pt]~~~2{\rm AC}\cos \theta&=&{\rm AC}^2-6~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small [\,2\,]}\) の両辺を \(4\) 倍すると、
\(\begin{eqnarray}~~~8{\rm AC}\cos \theta&=&4{\rm AC}^2-24~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) の左辺が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2+12&=&4{\rm AC}^2-24
\\[3pt]~~~12+24&=&4{\rm AC}^2-{\rm AC}^2
\\[3pt]~~~3{\rm AC}^2&=&36
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&12\end{eqnarray}\)
\({\rm AC} \gt 0\) より、
\({\rm AC}=\sqrt{\,12\,}=2\sqrt{\,3\,}\)
次に、\({\small [\,2\,]}\) に \({\rm AC}^2=12\) を代入して \(\cos \theta\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm AC}\cos \theta&=&12-6
\\[3pt]~~~2 \cdot 2\sqrt{\,3\,} \cdot \cos \theta&=&6
\\[3pt]~~~4\sqrt{\,3\,}\cos \theta&=&6
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,4\sqrt{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\cos^2 \theta
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、\(\sin \theta \gt 0\) より、
\(\sin \theta=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AC}=2\sqrt{\,3\,}~,~{\rm BC}=4\) とその間の角 \(\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2\sqrt{\,3\,} \cdot 4 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2\sqrt{\,3\,} \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ACD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AD}=1~,~{\rm AC}=2\sqrt{\,3\,}\) とその間の角 \(\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ACD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 2\sqrt{\,3\,} \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 2\sqrt{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、台形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm ACD}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=2~,~{\rm BC}=1~,~{\rm CD}=3~,~{\rm DA}=3\) である。\(\angle {\rm A}=\theta\) とするとき、次のものを求めよ。
\({\small (1)}~\cos \theta\) の値
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\)
\({\small (1)}~\cos \theta\) の値
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\)
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.169 章末問題B 7
\({\small (1)}~\cos \theta\) の値
対角線 \({\rm BD}\) を引き、円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\angle {\rm C}=180^\circ-\theta\)
\(\triangle {\rm ABD}\) の \(\angle {\rm A}=\theta\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&{\rm AB}^2+{\rm DA}^2-2 \cdot {\rm AB} \cdot {\rm DA} \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&2^2+3^2-2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&4+9-12\cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&13-12\cos \theta~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle {\rm BCD}\) の \(\angle {\rm C}\) についての余弦定理より、\(\cos (180^\circ-\theta)=-\cos \theta\) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&{\rm BC}^2+{\rm CD}^2-2 \cdot {\rm BC} \cdot {\rm CD} \cdot \cos (180^\circ-\theta)
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&1^2+3^2-2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot (-\cos \theta)
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&1+9+6\cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&10+6\cos \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&1^2+3^2-2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot (-\cos \theta)
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&1+9+6\cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&10+6\cos \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~13-12\cos \theta&=&10+6\cos \theta
\\[3pt]~~~-12\cos \theta-6\cos \theta&=&10-13
\\[3pt]~~~-18\cos \theta&=&-3
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,18\,}
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\)
相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\cos^2 \theta
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,36\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36-1\,}{\,36\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,36\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、\(\sin \theta \gt 0\) より、
\(\sin \theta=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,35\,}{\,36\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,35\,}\,}{\,6\,}\)
\(\triangle {\rm ABD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AB}=2~,~{\rm DA}=3\) とその間の角 \(\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,35\,}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,35\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm BCD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm BC}=1~,~{\rm CD}=3\) とその間の角 \(180^\circ-\theta\) と \(\sin (180^\circ-\theta)=\sin \theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm BCD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \sin (180^\circ-\theta)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,35\,}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,35\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\triangle {\rm ABD}+\triangle {\rm BCD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,35\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,35\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,35\,}+\sqrt{\,35\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,35\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}~,~S=\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,35\,}\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において \({\rm AB}=3~,~{\rm BC}=4~,~{\rm CD}={\rm DA}=5\) である。このとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~2\) つの角 \(\angle {\rm BAD}~,~\angle {\rm BCD}\) に着目して、対角線 \({\rm BD}\) および \(\cos \angle {\rm BAD}\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) の面積を求めよ。
\({\small (1)}~2\) つの角 \(\angle {\rm BAD}~,~\angle {\rm BCD}\) に着目して、対角線 \({\rm BD}\) および \(\cos \angle {\rm BAD}\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) の面積を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.168 練習問題A 4
\({\small (1)}~\)対角線 \({\rm BD}\) と \(\cos \angle {\rm BAD}\) の値
対角線 \({\rm BD}\) を引き、\(\angle {\rm BAD}=\theta\) とすると、円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) より、
\(\angle {\rm BCD}=180^\circ-\theta\)
\(\triangle {\rm ABD}\) の \(\angle {\rm BAD}=\theta\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&{\rm AB}^2+{\rm DA}^2-2 \cdot {\rm AB} \cdot {\rm DA} \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&3^2+5^2-2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&9+25-30\cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&34-30\cos \theta~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle {\rm BCD}\) の \(\angle {\rm BCD}\) についての余弦定理より、\(\cos (180^\circ-\theta)=-\cos \theta\) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&{\rm BC}^2+{\rm CD}^2-2 \cdot {\rm BC} \cdot {\rm CD} \cdot \cos (180^\circ-\theta)
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (-\cos \theta)
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&16+25+40\cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&41+40\cos \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (-\cos \theta)
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&16+25+40\cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm BD}^2&=&41+40\cos \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~34-30\cos \theta&=&41+40\cos \theta
\\[3pt]~~~-30\cos \theta-40\cos \theta&=&41-34
\\[3pt]~~~-70\cos \theta&=&7
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,70\,}
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
これを \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&34-30 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&34+3
\\[3pt]~~~&=&37\end{eqnarray}\)
\({\rm BD} \gt 0\) より、
\({\rm BD}=\sqrt{\,37\,}\)
よって、\({\rm BD}=\sqrt{\,37\,}~,~\cos \angle {\rm BAD}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\) となる
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) の面積
相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\cos^2 \theta
\\[5pt]~~~&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100-1\,}{\,100\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、\(\sin \theta \gt 0\) より、
\(\sin \theta=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,99\,}{\,100\,}\,}=\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,11\,}\,}{\,10\,}\)
\(\triangle {\rm ABD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm AB}=3~,~{\rm DA}=5\) とその間の角 \(\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,11\,}\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,45\sqrt{\,11\,}\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\sqrt{\,11\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm BCD}\) の面積は、\(2\) 辺 \({\rm BC}=4~,~{\rm CD}=5\) とその間の角 \(180^\circ-\theta\) と \(\sin (180^\circ-\theta)=\sin \theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm BCD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin (180^\circ-\theta)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,11\,}\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&3\sqrt{\,11\,}\end{eqnarray}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,9\sqrt{\,11\,}\,}{\,4\,}+3\sqrt{\,11\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\sqrt{\,11\,}+12\sqrt{\,11\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\sqrt{\,11\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,21\sqrt{\,11\,}\,}{\,4\,}\) となる
