- 数学Ⅰ｜データの分析「ヒストグラムと箱ひげ図の比較」の基本例題解説ページです。
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問題｜ヒストグラムと箱ひげ図の比較
データの分析 05☆ある高校の生徒 \(50\) 人が受けた英語、数学、国語のテストの得点を箱ひげ図にしたものが、それぞれ \({\rm [\,1\,]}\) 、\({\rm [\,2\,]}\) 、\({\rm [\,3\,]}\) である。
\({\small (1)}~\) 次の①〜⑥のうち、これらの箱ひげ図から読み取れることとして正しいものをすべて選べ。
① 範囲が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
② 四分位範囲が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
③ 中央値が最も小さいのは \({\rm [\,1\,]}\) である。
④ \(40\) 点をとった生徒は \({\rm [\,3\,]}\) には必ずいない。
⑤ \({\rm [\,1\,]}\) の四分位偏差は \(12.5\) 点である。
⑥ 平均値が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
\({\small (2)}~\) 数学の得点を表したヒストグラムが下の \({\rm [\,4\,]}\) である。このヒストグラムに対応する箱ひげ図を、\({\rm [\,1\,]}\) 〜 \({\rm [\,3\,]}\) のうちから選べ。
\({\small (1)}~\) 次の①〜⑥のうち、これらの箱ひげ図から読み取れることとして正しいものをすべて選べ。
① 範囲が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
② 四分位範囲が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
③ 中央値が最も小さいのは \({\rm [\,1\,]}\) である。
④ \(40\) 点をとった生徒は \({\rm [\,3\,]}\) には必ずいない。
⑤ \({\rm [\,1\,]}\) の四分位偏差は \(12.5\) 点である。
⑥ 平均値が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
\({\small (2)}~\) 数学の得点を表したヒストグラムが下の \({\rm [\,4\,]}\) である。このヒストグラムに対応する箱ひげ図を、\({\rm [\,1\,]}\) 〜 \({\rm [\,3\,]}\) のうちから選べ。
高校数学Ⅰ｜データの分析
解法のPoint
箱ひげ図の読み取り
Point：箱ひげ図の読み取り
① ひげの両端から最小値・最大値、箱の両端から \(Q_1\) ・\(Q_3\) 、箱の中の線から中央値を読み取る。
② 範囲・四分位範囲・四分位偏差は次の式で求める。
\(範囲=最大値-最小値\)
\(四分位範囲=Q_3-Q_1\)
\(四分位偏差=\displaystyle \frac{\,Q_3-Q_1\,}{\,2\,}\)
③ 「ある値をとった生徒がいるか」は、その値が最小値から最大値の範囲に入るかで判断する。
※ 箱ひげ図から平均値は読み取れない。
箱ひげ図からは、最小値、第 \(1\) 四分位数 \(Q_1\) 、中央値 \(Q_2\) 、第 \(3\) 四分位数 \(Q_3\) 、最大値の \(5\) つの値が読み取れる。
① ひげの両端から最小値・最大値、箱の両端から \(Q_1\) ・\(Q_3\) 、箱の中の線から中央値を読み取る。
② 範囲・四分位範囲・四分位偏差は次の式で求める。
\(範囲=最大値-最小値\)
\(四分位範囲=Q_3-Q_1\)
\(四分位偏差=\displaystyle \frac{\,Q_3-Q_1\,}{\,2\,}\)
③ 「ある値をとった生徒がいるか」は、その値が最小値から最大値の範囲に入るかで判断する。
※ 箱ひげ図から平均値は読み取れない。
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ヒストグラムと箱ひげ図の対応
Point：ヒストグラムと箱ひげ図の対応
① 最小値・最大値が入る階級を読み取る。
② データの大きさ \(n\) から、小さい方へ度数を積み上げ、四分位数が入る階級を求める。
\(\displaystyle \frac{\,n\,}{\,4\,}\) 番目あたり \(\rightarrow Q_1\)
\(\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}\) 番目あたり \(\rightarrow 中央値\)
\(\displaystyle \frac{\,3n\,}{\,4\,}\) 番目あたり \(\rightarrow Q_3\)
③ ヒストグラムの山の位置や裾の伸び方と、箱ひげ図の箱の偏り・ひげの長さが対応する。
※ ヒストグラムは階級ごとの度数しかわからないので、四分位数も「○○以上△△未満の階級にある」という幅をもった形でしか定まらない。
ヒストグラムと箱ひげ図は同じデータを別の形で表したものなので、互いに矛盾なく対応する。
① 最小値・最大値が入る階級を読み取る。
② データの大きさ \(n\) から、小さい方へ度数を積み上げ、四分位数が入る階級を求める。
\(\displaystyle \frac{\,n\,}{\,4\,}\) 番目あたり \(\rightarrow Q_1\)
\(\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}\) 番目あたり \(\rightarrow 中央値\)
\(\displaystyle \frac{\,3n\,}{\,4\,}\) 番目あたり \(\rightarrow Q_3\)
③ ヒストグラムの山の位置や裾の伸び方と、箱ひげ図の箱の偏り・ひげの長さが対応する。
※ ヒストグラムは階級ごとの度数しかわからないので、四分位数も「○○以上△△未満の階級にある」という幅をもった形でしか定まらない。
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詳しい解説｜ヒストグラムと箱ひげ図の比較
データの分析 05☆ある高校の生徒 \(50\) 人が受けた英語、数学、国語のテストの得点を箱ひげ図にしたものが、それぞれ \({\rm [\,1\,]}\) 、\({\rm [\,2\,]}\) 、\({\rm [\,3\,]}\) である。
\({\small (1)}~\) 次の①〜⑥のうち、これらの箱ひげ図から読み取れることとして正しいものをすべて選べ。
① 範囲が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
② 四分位範囲が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
③ 中央値が最も小さいのは \({\rm [\,1\,]}\) である。
④ \(40\) 点をとった生徒は \({\rm [\,3\,]}\) には必ずいない。
⑤ \({\rm [\,1\,]}\) の四分位偏差は \(12.5\) 点である。
⑥ 平均値が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
\({\small (2)}~\) 数学の得点を表したヒストグラムが下の \({\rm [\,4\,]}\) である。このヒストグラムに対応する箱ひげ図を、\({\rm [\,1\,]}\) 〜 \({\rm [\,3\,]}\) のうちから選べ。
\({\small (1)}~\) 次の①〜⑥のうち、これらの箱ひげ図から読み取れることとして正しいものをすべて選べ。
① 範囲が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
② 四分位範囲が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
③ 中央値が最も小さいのは \({\rm [\,1\,]}\) である。
④ \(40\) 点をとった生徒は \({\rm [\,3\,]}\) には必ずいない。
⑤ \({\rm [\,1\,]}\) の四分位偏差は \(12.5\) 点である。
⑥ 平均値が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) である。
\({\small (2)}~\) 数学の得点を表したヒストグラムが下の \({\rm [\,4\,]}\) である。このヒストグラムに対応する箱ひげ図を、\({\rm [\,1\,]}\) 〜 \({\rm [\,3\,]}\) のうちから選べ。
高校数学Ⅰ｜データの分析
はじめに、それぞれの箱ひげ図から \(5\) つの値を読み取ると、
\(\begin{array}{c|ccccc}
& 最小値 & Q_1 & 中央値 & Q_3 & 最大値
\\\hline
{\rm [\,1\,]} & 30 & 50 & 60 & 75 & 95
\\{\rm [\,2\,]} & 40 & 55 & 70 & 85 & 95
\\{\rm [\,3\,]} & 45 & 55 & 65 & 70 & 85
\end{array}\)
① 範囲は「最大値 \(-\) 最小値」で求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm [\,1\,]}&=&95-30=65\\[3pt]~~~{\rm [\,2\,]}&=&95-40=55\\[3pt]~~~{\rm [\,3\,]}&=&85-45=40\end{eqnarray}\)
となり、範囲が最も大きいのは \({\rm [\,1\,]}\) であるので、
① は正しくない。
② 四分位範囲は「\(Q_3-Q_1\)」で求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm [\,1\,]}&=&75-50=25\\[3pt]~~~{\rm [\,2\,]}&=&85-55=30\\[3pt]~~~{\rm [\,3\,]}&=&70-55=15\end{eqnarray}\)
となり、四分位範囲が最も大きいのは \({\rm [\,2\,]}\) であるので、
② は正しい
③ 中央値を比べると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm [\,1\,]}&=&60\\[3pt]~~~{\rm [\,2\,]}&=&70\\[3pt]~~~{\rm [\,3\,]}&=&65\end{eqnarray}\)
となり、中央値が最も小さいのは \({\rm [\,1\,]}\) であるので、
③ は正しい
④ 「ある値をとった生徒がいるか」は、その値が最小値から最大値の範囲に入るかで判断する。
\({\rm [\,3\,]}\) の最小値は \(45\) 点なので、\(40\) 点は最小値より小さく、\({\rm [\,3\,]}\) には必ずいないので、
④ は正しい
⑤ 四分位偏差は「\(\displaystyle \frac{\,Q_3-Q_1\,}{\,2\,}\)」で求めるので、\({\rm [\,1\,]}\) の四分位偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,Q_3-Q_1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,75-50\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&12.5\end{eqnarray}\)
となり、\({\rm [\,1\,]}\) の四分位偏差は \(12.5\) 点であるので、
⑤ は正しい。
⑥ 箱ひげ図から平均値を読み取ることはできないので、
⑥ は正しくない。
※ 平均値は、すべてのデータの値を合計して個数でわった値であり、箱ひげ図の \(5\) つの値からは求められない
したがって、正しいものは ②③④⑤
\({\small (2)}~\) ヒストグラム \({\rm [\,4\,]}\) と対応する箱ひげ図を求める
ヒストグラムから、小さい方へ度数を積み上げて \(5\) つの値が入る階級を調べると、
\(\begin{array}{c|cc}
階級（点） & 度数 & 累積度数
\\\hline
40〜50 & 5 & 5
\\50〜60 & 8 & 13
\\60〜70 & 12 & 25
\\70〜80 & 10 & 35
\\80〜90 & 9 & 44
\\90〜100 & 6 & 50
\end{array}\)
最小値は \(40\) 点以上 \(50\) 点未満の階級にあるとわかる
\(Q_1\) は下から \(13\) 番目の値で、\(50\) 点以上 \(60\) 点未満の階級にあるとわかる
中央値は下から \(25\) 番目と \(26\) 番目の値の平均で、それぞれ \(60\) 〜 \(70\)、\(70\) 〜 \(80\) の階級に入るので、\(70\) 点付近にあるとわかる
\(Q_3\) は下から \(38\) 番目の値で、\(80\) 点以上 \(90\) 点未満の階級にあるので、\(Q_3\) が \(75\) の \({\rm [\,1\,]}\) は当てはまらない
最大値は \(90\) 点以上 \(100\) 点未満の階級にあるので、最大値が \(85\) の \({\rm [\,3\,]}\) は当てはまらない
これらをすべて満たすのは \({\rm [\,2\,]}\) であるので、
したがって、ヒストグラム \({\rm [\,4\,]}\) と対応する箱ひげ図は \({\rm [\,2\,]}\)
