四分位範囲と外れ値

データを小さい順に並べると、

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　\(\begin{array}{c}
1~~\boxed{5~~6}~~7~~|~~7~~\boxed{7~~8}~~9
\\ \uparrow \hspace{50pt} \uparrow
\\ Q_1 \hspace{44pt} Q_3
\end{array}\)

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第 \(1\) 四分位数 \(Q_1\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~Q_1&=&\displaystyle \frac{\,5+6\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}=5.5\end{eqnarray}\)

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第 \(3\) 四分位数 \(Q_3\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~Q_3&=&\displaystyle \frac{\,7+8\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}=7.5\end{eqnarray}\)

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これより、四分位範囲は、

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\(\begin{eqnarray}~~~Q_3-Q_1&=&7.5-5.5\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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また、四分位範囲の \(1.5\) 倍は、

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　\(2{\, \small \times \,}1.5=3\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~Q_1-3&=&5.5-3=2.5 \gt 1\\[3pt]~~~Q_3+3&=&7.5+3=10.5 \gt 9\end{eqnarray}\)

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したがって、\(1\) は外れ値となり、\(9\) は外れ値ではない