- 数学Ⅰ｜データの分析「データの変換と四分位数」の基本例題解説ページです。
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問題｜データの変換と四分位数
データの分析 08☆ある \(20\) 個のデータの中央値が \(18\) 、範囲が \(40\) 、四分位範囲が \(15\) であったとき、データの各値に \(5\) を加えた中央値、範囲、四分位範囲の求め方は？また、データの各値を \(2\) 倍したときの中央値、範囲、四分位範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜データの分析
解法のPoint
データの変換と四分位数
Point：データの変換と四分位数もとのデータの各値を変換したときの中央値、範囲、四分位範囲は、
① 変換前の最小値、最大値、第 \(1\) ～第 \(3\) 四分位数を \(m~,~M~,~Q_1~,~Q_2~,~Q_3\) とし、中央値、範囲、四分位範囲の各値を求める。
\(Q_2=18~,~M-m=40~,~Q_3-Q_1=15\)
② 変換後の最小値、最大値、第 \(1\) ～第 \(3\) 四分位数を \(m~,~M~,~Q_1~,~Q_2~,~Q_3\) を用いて表し、中央値、範囲、四分位範囲の各値を求める。
データの各値を \(2\) 倍すると、
\(m {\, \small \times \,} 2~,~M {\, \small \times \,} 2~,~Q_1 {\, \small \times \,} 2~,~Q_2 {\, \small \times \,} 2~,~Q_3 {\, \small \times \,} 2\)
となるので、
中央値 \(=Q_2 {\, \small \times \,} 2=36\)
範囲 \(=(M-m) {\, \small \times \,} 2=80\)
四分位範囲 \(=(Q_3-Q_1) {\, \small \times \,} 2=30\)
① 変換前の最小値、最大値、第 \(1\) ～第 \(3\) 四分位数を \(m~,~M~,~Q_1~,~Q_2~,~Q_3\) とし、中央値、範囲、四分位範囲の各値を求める。
\(Q_2=18~,~M-m=40~,~Q_3-Q_1=15\)
② 変換後の最小値、最大値、第 \(1\) ～第 \(3\) 四分位数を \(m~,~M~,~Q_1~,~Q_2~,~Q_3\) を用いて表し、中央値、範囲、四分位範囲の各値を求める。
データの各値を \(2\) 倍すると、
\(m {\, \small \times \,} 2~,~M {\, \small \times \,} 2~,~Q_1 {\, \small \times \,} 2~,~Q_2 {\, \small \times \,} 2~,~Q_3 {\, \small \times \,} 2\)
となるので、
中央値 \(=Q_2 {\, \small \times \,} 2=36\)
範囲 \(=(M-m) {\, \small \times \,} 2=80\)
四分位範囲 \(=(Q_3-Q_1) {\, \small \times \,} 2=30\)
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詳しい解説｜データの変換と四分位数
データの分析 08☆ある \(20\) 個のデータの中央値が \(18\) 、範囲が \(40\) 、四分位範囲が \(15\) であったとき、データの各値に \(5\) を加えた中央値、範囲、四分位範囲の求め方は？また、データの各値を \(2\) 倍したときの中央値、範囲、四分位範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜データの分析
この \(20\) 個のデータの最大値を \(M\) 、最小値を \(m\) 、第 \(1\) ～第 \(3\) 四分位数を \(Q_1~,~Q_2~,~Q_3\) とすると、
中央値が \(18\) より、\(Q_2=18\)
範囲が \(40\) より、\(M-m=40\)
四分位範囲が \(15\) より、\(Q_3-Q_1=15\)
データの各値に \(5\) を加えると、中央値も \(5\) 加わるので、
\(Q_2+5=18+5=23\)
最大値も最小値も \(5\) 加わるので、範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(M+5)-(m+5)\\[3pt]~~~&=&(M-m)+5-5\\[3pt]~~~&=&M-m=40\end{eqnarray}\)
第 \(3\) 四分位数も第 \(1\) 四分位数も \(5\) 加わるので、四分位範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(Q_3+5)-(Q_1+5)\\[3pt]~~~&=&(Q_3-Q_1)+(5-5)\\[3pt]~~~&=&Q_3-Q_1=15\end{eqnarray}\)
したがって、中央値 \(23\) 、範囲 \(40\) 、四分位範囲 \(15\) となる
データの各値を \(2\) 倍すると、中央値も \(2\) 倍されるので、
\(Q_2 {\, \small \times \,} 2=18 {\, \small \times \,} 2=36\)
最大値も最小値も \(2\) 倍されるので、範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&M {\, \small \times \,} 2-m {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&(M-m) {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&40 {\, \small \times \,} 2=80\end{eqnarray}\)
第 \(3\) 四分位数も第 \(1\) 四分位数も \(2\) 倍されるので、四分位範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&Q_3 {\, \small \times \,} 2-Q_1 {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&(Q_3-Q_1) {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&15 {\, \small \times \,} 2=30\end{eqnarray}\)
したがって、中央値 \(36\) 、範囲 \(80\) 、四分位範囲 \(30\) となる
