- 数学Ⅰ｜データの分析「2つのデータの共分散と相関係数」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つのデータの共分散と相関係数
データの分析 142つの変量 \(x~,~y\) のデータ \({\small ①}~(5~,~11)~,~\)\({\small ②}~(4~,~7)~,~\)\({\small ③}~(8~,~13)~,~\)\({\small ④}~(7~,~9)~,~\)\({\small ⑤}~(6~,~10)\) について、共分散と相関係数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜データの分析
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2つのデータの共分散と相関係数
解法のPoint
2つのデータの共分散と相関係数
Point：2つのデータの共分散と相関係数2つの変量の共分散・相関係数は、
① 2つの変量 \(x~,~y\) の平均値 \(\overline{x}~,~\overline{y}\) をそれぞれ求める。
\(\overline{x}=6~,~\overline{y}=10\)
② それぞれの偏差 \(x-\overline{x}~,~y-\overline{y}\) を表にまとめる。
③ それぞれの偏差の2乗 \((x-\overline{x})^2~,~(y-\overline{y})^2\) と偏差の積 \((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) を表にまとめる。
④ 表より、共分散や相関係数を求める。
共分散 \(s_{xy}=(x-\overline{x})(y-\overline{y})\) の平均値
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,s_{xy}\,}{\,s_x \cdot s_y\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x~,~y \,の共分散\,}{\,(x\,の標準偏差) \cdot (y\,の標準偏差)\,}\end{eqnarray}\)
また、\((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) の総和 \(S_{xy}\)、\((x-\overline{x})^2\) の総和 \(S_x\)、\((y-\overline{y})^2\) の総和 \(S_y\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,S_{xy}\,}{\,\sqrt{\,S_x\,} \cdot \sqrt{\,S_y\,}\,}\end{eqnarray}\)
① 2つの変量 \(x~,~y\) の平均値 \(\overline{x}~,~\overline{y}\) をそれぞれ求める。
\(\overline{x}=6~,~\overline{y}=10\)
② それぞれの偏差 \(x-\overline{x}~,~y-\overline{y}\) を表にまとめる。
③ それぞれの偏差の2乗 \((x-\overline{x})^2~,~(y-\overline{y})^2\) と偏差の積 \((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) を表にまとめる。
④ 表より、共分散や相関係数を求める。
共分散 \(s_{xy}=(x-\overline{x})(y-\overline{y})\) の平均値
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,s_{xy}\,}{\,s_x \cdot s_y\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x~,~y \,の共分散\,}{\,(x\,の標準偏差) \cdot (y\,の標準偏差)\,}\end{eqnarray}\)
また、\((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) の総和 \(S_{xy}\)、\((x-\overline{x})^2\) の総和 \(S_x\)、\((y-\overline{y})^2\) の総和 \(S_y\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,S_{xy}\,}{\,\sqrt{\,S_x\,} \cdot \sqrt{\,S_y\,}\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜2つのデータの共分散と相関係数
データの分析 142つの変量 \(x~,~y\) のデータ \({\small ①}~(5~,~11)~,~\)\({\small ②}~(4~,~7)~,~\)\({\small ③}~(8~,~13)~,~\)\({\small ④}~(7~,~9)~,~\)\({\small ⑤}~(6~,~10)\) について、共分散と相関係数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜データの分析
データ \(x\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,5+4+8+7+6\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,30\,}{\,5\,}=6\end{eqnarray}\)
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,11+7+13+9+10\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,50\,}{\,5\,}=10\end{eqnarray}\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
① & 5 & 11 & -1 & +1 \\
② & 4 & 7 & -2 & -3 \\
③ & 8 & 13 & +2 & +3 \\
④ & 7 & 9 & +1 & -1 \\
⑤ & 6 & 10 & 0 & 0
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=6\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=10\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
① & 1 & 1 & -1 \\
② & 4 & 9 & +6 \\
③ & 4 & 9 & +6 \\
④ & 1 & 1 & -1 \\
⑤ & 0 & 0 & 0 \\
\hline
計 & 10 & 20 & 10
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}=2\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,2\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,20\,}{\,5\,}=4\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,4\,}=2\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}=2\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,2\,} {\, \small \times \,} 2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{\,2\,}{\small ~≒~}1.41\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1.41\,}{\,2\,}{\small ~≒~}0.71\end{eqnarray}\)
【別解】 相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,\sqrt{\,10 {\, \small \times \,} 20\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,\sqrt{\,200\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,10\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}{\small ~≒~}0.71\end{eqnarray}\)
