- 数学Ⅲ｜微分法「接線の傾きと微分係数の定義」の基本例題解説ページです。
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問題｜接線の傾きと微分係数の定義
微分法 01関数 \(f(x)=x^3-3x\) の点 \((2~,~2)\) における接線の傾きを微分係数の定義から求める方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
接線の傾きと微分係数の定義
Point：接線の傾きと微分係数の定義
① 接線の傾きは、\(x=a\) での微分係数 \(f^{\prime}(a)\) となる。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
② \(f(a+h)-f(a)\) を展開して整理し、\(h\) で約分してから \(h\) を \(0\) に近づける。
曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a~,~f(a))\) における接線の傾きは、
① 接線の傾きは、\(x=a\) での微分係数 \(f^{\prime}(a)\) となる。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
② \(f(a+h)-f(a)\) を展開して整理し、\(h\) で約分してから \(h\) を \(0\) に近づける。
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詳しい解説｜接線の傾きと微分係数の定義
微分法 01関数 \(f(x)=x^3-3x\) の点 \((2~,~2)\) における接線の傾きを微分係数の定義から求める方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
点 \((2~,~2)\) における接線の傾きは、\(x=2\) での微分係数 \(f^{\prime}(2)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(2)&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(2+h)-f(2)\,}{\,(2+h)-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\left\{\,(2+h)^3-3(2+h)\,\right\}-(2^3-3 \cdot 2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,8+12h+6h^2+h^3-6-3h-8+6\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,9h+6h^2+h^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}(9+6h+h^2)
\\[5pt]~~~&=&9+6 \cdot 0+0^2
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\left\{\,(2+h)^3-3(2+h)\,\right\}-(2^3-3 \cdot 2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,8+12h+6h^2+h^3-6-3h-8+6\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,9h+6h^2+h^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}(9+6h+h^2)
\\[5pt]~~~&=&9+6 \cdot 0+0^2
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、接線の傾きは \(9\) となる
