- 数学Ⅲ｜微分法「関数の連続と微分可能」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数の連続と微分可能
微分法 02関数 \(f(x)=|\,x-1\,|\) が \(x=1\) で連続であるか、微分可能かどうかの調べ方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
関数の連続と微分可能
Point：関数の連続と微分可能関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で連続であるかは、
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)\) が成り立つかどうかを調べる。
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能であるとは、
微分係数 \(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\) が存在する
① 平均変化率 \(\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\) を求める。
② \(h \to +0\) の右側極限と \(h \to -0\) の左側極限を求める。
③ 右側極限と左側極限が一致すれば微分可能、一致しなければ微分可能でない。
※ \(x=a\) で微分可能ならば連続であるが、連続であっても微分可能とは限らない。
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)\) が成り立つかどうかを調べる。
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能であるとは、
微分係数 \(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\) が存在する
\(x=a\) で微分可能であるかは、
① 平均変化率 \(\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\) を求める。
② \(h \to +0\) の右側極限と \(h \to -0\) の左側極限を求める。
③ 右側極限と左側極限が一致すれば微分可能、一致しなければ微分可能でない。
※ \(x=a\) で微分可能ならば連続であるが、連続であっても微分可能とは限らない。
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詳しい解説｜関数の連続と微分可能
微分法 02関数 \(f(x)=|\,x-1\,|\) が \(x=1\) で連続であるか、微分可能かどうかの調べ方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
\(x=1\) での連続について、
\(x \to 1\) のときの極限値を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x)&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}|\,x-1\,|
\\[5pt]~~~&=&|\,1-1\,|
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
また、\(x=1\) のときの値を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&|\,1-1\,|
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x)=f(1)\) が成り立つので、
したがって、\(f(x)=|\,x-1\,|\) は \(x=1\) で連続である
\(x=1\) での微分可能について、
\(x=1\) における平均変化率を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,(1+h)-1\,|-|\,1-1\,|\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,h\,|-0\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,h\,|\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(h\) の符号で場合分けすると、
\(h\gt 0\) のとき、\(|\,h\,|=h\)
\(h\lt 0\) のとき、\(|\,h\,|=-h\)
これより、右側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,h\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}1
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
また、左側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,-h\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}(-1)
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
よって、右側極限と左側極限が一致しないので、微分係数 \(f^{\prime}(1)\) は存在しない
したがって、\(f(x)=|\,x-1\,|\) は \(x=1\) で微分可能でない
