- 数学Ⅲ「微分法」の基本例題一覧ページです。
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導関数と微分
01｜接線の傾きと微分係数の定義
微分法 01関数 \(f(x)=x^3-3x\) の点 \((2~,~2)\) における接線の傾きを微分係数の定義から求める方法は？
02｜関数の連続と微分可能
微分法 02関数 \(f(x)=|\,x-1\,|\) が \(x=1\) で連続であるか、微分可能かどうかの調べ方は？
03｜定義に従った導関数
微分法 03関数 \(f(x)=\sqrt{\,x\,}~,~\)\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の導関数を定義に従って求める方法は？
04☆｜極限式の導関数での表し方
微分法 04☆\(a\) を定数として、関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能であるとき、\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) を \(f^{\prime}(a)\) を用いて表す方法は？
積や商の導関数・合成関数の微分
05｜導関数の性質と積の導関数
微分法 05関数 \(y=x^4-2x^3+5x^2-3x+1\) を微分する方法は？また、関数 \(y=(2x-1)(x^2-5x+2)\) を積の導関数の公式を使って微分する方法は？
06｜商の導関数
微分法 06関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x-1\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-3\,}\) を商の導関数の公式を使って微分する方法は？
07｜xⁿ(nは整数)の導関数
微分法 07関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~\)\(y=3x^{-1}-x^{-2}\) を \(y=x^n\) (\(n\) は整数) として微分する方法は？
08｜合成関数の微分
微分法 08関数 \(y=(3x^2-1)^2\) や \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2x+1)^2\,}\) を合成関数の微分法で微分する方法は？
09｜逆関数の微分法
微分法 09関数 \(y=\sqrt[3]{\,x\,}\) を逆関数の微分法を使って微分する方法は？
10｜xⁿ(nは有理数)の導関数
微分法 10関数 \(y=\sqrt[3]{\,x\,}~,~\)\(y=x\sqrt{\,x\,}~,~\)\(y=\sqrt[3]{\,(2x-1)^2\,}\) を \(y=x^n\) (\(n\) は有理数) として微分する方法は？
11☆｜3つの関数の積の導関数
微分法 11☆関数 \(f(x)~,~g(x)~,~h(x)\) が微分可能のとき、\(y=f(x)g(x)h(x)\) の導関数の求め方(証明方法)は？
また、関数 \(y=(x-1)(x+2)(x+3)\) を微分する方法は？
また、関数 \(y=(x-1)(x+2)(x+3)\) を微分する方法は？
12☆｜等比数列の和の公式と微分
微分法 12☆初項 \(1\)、公比 \(x~(x \neq 1)\) の等比数列の第 \(n\) 項までの和の公式を微分することで、\(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\) の値を求める方法は？
三角関数・指数関数・対数関数の導関数
13｜三角関数の微分
微分法 13関数 \(y=\sin 2x~,~\)\(y=\cos^3 x~,~\)\(y=2\sin^2 x~,~\)\(y=\tan 4x~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan x\,}~,~\)\(y=\sin x\cos x~,~\)\(y=x\sin 2x\) を微分する方法は？
14☆｜三角関数の逆関数の導関数
微分法 14☆\(y=\tan x~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) の逆関数の導関数の求め方は？
15｜対数関数の微分
微分法 15関数 \(y=\log 5x~,~\)\(y=\log_{2}(3x+1)~,~\)\(y=x\log 2x~,~\)\(y=\log_{2}|\,x^2-2\,|~,~\)\(y=\log|\,\sin x\,|\) を微分する方法は？
16｜対数微分法
微分法 16関数 \(y=\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,x-1\,}~,~\)\(y=\sqrt[3]{\,x(x+1)\,}~,~\)\(y=x^x~(x\gt 0)\) を対数微分法で微分する方法は？
17｜xⁿ(nは実数)の導関数
微分法 17関数 \(y=x^{\sqrt{2}}\) を \((x^a)^{\prime}=ax^{a-1}\) (\(a\) は実数) を使って微分する方法は？また、対数微分法で微分する方法は？
18｜指数関数の微分
微分法 18関数 \(y=e^{3x}~,~\)\(y=2^{-3x}~,~\)\(y=xe^x\) を微分する方法は？
19☆｜eの極限定義を用いた計算
微分法 19☆\(\displaystyle\lim_{t \to 0}(1+t)^{\large \frac{1}{t}}=e\) を用いた \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to 0}(1-x)^{\large \frac{1}{x}}~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{x-1}\) の値の求め方は？
20☆｜導関数の定義を用いた極限の計算
微分法 20☆極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}\) の値の求め方は？
第n次導関数
21｜第2次導関数と第3次導関数
微分法 21関数 \(y=x^5~,~\)\(y=\sin x~,~\)\(y=e^x~,~\)\(y=\log x\) の第2次導関数と第3次導関数の求め方は？
22｜第n次導関数と規則性
微分法 22関数 \(y=x^n~(n\) は自然数\()~,~\)\(y=e^{3x}~,~\)\(y=\log x~,~\)\(y=\sin x+\cos x\) の第 \(n\) 次導関数の求め方は？
23｜第2次導関数と等式の証明
微分法 23関数 \(y=e^x\sin x\) は等式 \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\) を満たすことを示す方法は？
24☆｜第n次導関数と数学的帰納法
微分法 24☆関数 \(y=\sin x\) の第 \(n\) 次導関数が \(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,2\,}\right)\) であることを数学的帰納法を用いて証明する方法は？
２次曲線の導関数
25｜x,yの方程式の導関数
微分法 25方程式 \(y^2=4x~,~\)\(x^2+y^2=4~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) について、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) の求め方は？
26｜媒介変数表示された関数の導関数
微分法 26\(t\) を媒介変数として、\(x=2\cos t~,~\)\(y=3\sin t\) で表される関数の導関数 \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を \(t\) で表す方法は？
27☆｜媒介変数表示された関数の第2次導関数
微分法 27☆\(t\) を媒介変数として、\(x=2\cos t~,~\)\(y=3\sin t\) で表される関数の第2次導関数 \(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}\) を \(t\) で表す方法は？
