- 数学Ⅲ｜微分法「対数関数の微分」の基本例題解説ページです。
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問題｜対数関数の微分
微分法 15関数 \(y=\log 5x~,~\)\(y=\log_{2}(3x+1)~,~\)\(y=x\log 2x~,~\)\(y=\log_{2}|\,x^2-2\,|~,~\)\(y=\log|\,\sin x\,|\) を微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
対数関数の微分
Point：対数関数の微分
\(u\) が \(x\) の関数で \(u\gt 0\) のとき、対数関数の導関数は、
\((\log u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\,}\)
\((\log_{a} u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\log a\,}\)
※ \(\log a\) は自然対数 \(\log_{e} a\) を表す。
※ \(u=x\) のときは \(u^{\prime}=1\) となり、\((\log x)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\((\log_{a} x)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\log a\,}\) のようになる。
真数に絶対値が付いた対数関数も、同じ形の導関数となり、
\((\log|\,u\,|)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\,}\)
\((\log_{a}|\,u\,|)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\log a\,}\)
※ \(u\gt 0\) と \(u\lt 0\) のどちらの場合も成り立つ。
積の形の対数関数は、積の導関数の公式より、
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
※ 前を微分して後ろはそのまま、前はそのままで後ろを微分して、「微分そのまま+そのまま微分」と覚える。
\(e\) を底とする対数 \(\log_{e} x\) を自然対数といい、微分法では底 \(e\) を省略して \(\log x\) と書くことが多い。
\(u\) が \(x\) の関数で \(u\gt 0\) のとき、対数関数の導関数は、
\((\log u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\,}\)
\((\log_{a} u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\log a\,}\)
※ \(\log a\) は自然対数 \(\log_{e} a\) を表す。
※ \(u=x\) のときは \(u^{\prime}=1\) となり、\((\log x)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\((\log_{a} x)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\log a\,}\) のようになる。
真数に絶対値が付いた対数関数も、同じ形の導関数となり、
\((\log|\,u\,|)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\,}\)
\((\log_{a}|\,u\,|)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\log a\,}\)
※ \(u\gt 0\) と \(u\lt 0\) のどちらの場合も成り立つ。
積の形の対数関数は、積の導関数の公式より、
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
※ 前を微分して後ろはそのまま、前はそのままで後ろを微分して、「微分そのまま+そのまま微分」と覚える。
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詳しい解説｜対数関数の微分
微分法 15関数 \(y=\log 5x~,~\)\(y=\log_{2}(3x+1)~,~\)\(y=x\log 2x~,~\)\(y=\log_{2}|\,x^2-2\,|~,~\)\(y=\log|\,\sin x\,|\) を微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=\log 5x\) について、
\(u=5x\) とおくと、\(y=\log u\) となる。
\((\log u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\,}\) より、中身の微分 \((5x)^{\prime}\) を \(5x\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\log 5x)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(5x)^{\prime}\,}{\,5x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) となる
関数 \(y=\log_{2}(3x+1)\) について、
\(u=3x+1\) とおくと、\(y=\log_{2} u\) となる。
\((\log_{a} u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\log a\,}\) より、中身の微分 \((3x+1)^{\prime}\) を \((3x+1)\log 2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\{\log_{2}(3x+1)\}^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(3x+1)^{\prime}\,}{\,(3x+1)\log 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,(3x+1)\log 2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,(3x+1)\log 2\,}\) となる
関数 \(y=x\log 2x\) について、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となり、
\((\log 2x)^{\prime}\) は \((\log u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\,}\) を用いて微分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x)^{\prime}\log 2x+x(\log 2x)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \log 2x+x \cdot \displaystyle \frac{\,(2x)^{\prime}\,}{\,2x\,}
\\[5pt]~~~&=&\log 2x+x \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,2x\,}
\\[5pt]~~~&=&\log 2x+1\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\log 2x+1\) となる
関数 \(y=\log_{2}|\,x^2-2\,|\) について、
\(u=x^2-2\) とおくと、\(y=\log_{2}|\,u\,|\) となる。
\((\log_{a}|\,u\,|)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\log a\,}\) より、中身の微分 \((x^2-2)^{\prime}\) を \((x^2-2)\log 2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\log_{2}|\,x^2-2\,|)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x^2-2)^{\prime}\,}{\,(x^2-2)\log 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,(x^2-2)\log 2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,(x^2-2)\log 2\,}\) となる
関数 \(y=\log|\,\sin x\,|\) について、
\(u=\sin x\) とおくと、\(y=\log|\,u\,|\) となる。
\((\log|\,u\,|)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,u^{\prime}\,}{\,u\,}\) より、中身の微分 \((\sin x)^{\prime}\) を \(\sin x\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\log|\,\sin x\,|)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sin x)^{\prime}\,}{\,\sin x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos x\,}{\,\sin x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\cos x\,}{\,\sin x\,}\) となる
