- 数学Ⅲ｜微分法「三角関数の逆関数の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数の逆関数の導関数
微分法 14☆\(y=\tan x~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) の逆関数の導関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
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三角関数の逆関数の導関数
解法のPoint
三角関数の逆関数の導関数
Point：三角関数の逆関数の導関数関数 \(y=\tan x\) の逆関数の導関数は、
① \(x\) と \(y\) を入れ替えて、逆関数を \(x\) が \(y\) の関数となる形で表す。
\(x=\tan y~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\)
② 両辺を \(y\) で微分して、\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\)
③ 逆関数の微分法 \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\,}\) より、逆数をとって \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\cos^2 y\)
④ \(1+\tan^2 y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\) と \(\tan y=x\) より、\(x\) の式に戻す。
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\)
① \(x\) と \(y\) を入れ替えて、逆関数を \(x\) が \(y\) の関数となる形で表す。
\(x=\tan y~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\)
② 両辺を \(y\) で微分して、\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\)
③ 逆関数の微分法 \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\,}\) より、逆数をとって \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\cos^2 y\)
④ \(1+\tan^2 y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\) と \(\tan y=x\) より、\(x\) の式に戻す。
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\)
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詳しい解説｜三角関数の逆関数の導関数
微分法 14☆\(y=\tan x~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) の逆関数の導関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=\tan x\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えて、逆関数を表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\tan y~~~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
両辺を \(y\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\end{eqnarray}\)
\(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) では \(\cos y \neq 0\) より \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,} \neq 0\) となるので、
逆関数の微分法より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos^2 y\end{eqnarray}\)
ここで、三角関数の相互関係 \(1+\tan^2 y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\) より、\(\cos^2 y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 y\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 y\,}\end{eqnarray}\)
\(\tan y=x\) を代入して、\(x\) の式に戻すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\) となる
