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問題｜三角関数の微分
微分法 13関数 \(y=\sin 2x~,~\)\(y=\cos^3 x~,~\)\(y=2\sin^2 x~,~\)\(y=\tan 4x~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan x\,}~,~\)\(y=\sin x\cos x~,~\)\(y=x\sin 2x\) を微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
三角関数の微分
Point：三角関数の微分
\((\sin u)^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}\)
\((\cos u)^{\prime}=-\sin u \cdot u^{\prime}\)
\((\tan u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 u\,} \cdot u^{\prime}\)
※ \(u=x\) のときは \(u^{\prime}=1\) となり、\((\sin x)^{\prime}=\cos x\) のようになる。
\(\sin^n x\) のような \(n\) 次式の三角関数は、\(\sin x=u\) として \(u\) の \(n\) 次関数と考えると、
\((\sin^n x)^{\prime}=n\sin^{n-1} x \cdot (\sin x)^{\prime}\)
※ 分数の形は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan x\,}=(\tan x)^{-1}\) のように負の指数で表してから微分する。
積の形の三角関数は、積の導関数の公式より、
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
※ 前を微分して後ろはそのまま、前はそのままで後ろを微分して、「微分そのまま+そのまま微分」と覚える。
\(u\) が \(x\) の関数であるとき、三角関数の導関数は、
\((\sin u)^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}\)
\((\cos u)^{\prime}=-\sin u \cdot u^{\prime}\)
\((\tan u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 u\,} \cdot u^{\prime}\)
※ \(u=x\) のときは \(u^{\prime}=1\) となり、\((\sin x)^{\prime}=\cos x\) のようになる。
\(\sin^n x\) のような \(n\) 次式の三角関数は、\(\sin x=u\) として \(u\) の \(n\) 次関数と考えると、
\((\sin^n x)^{\prime}=n\sin^{n-1} x \cdot (\sin x)^{\prime}\)
※ 分数の形は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan x\,}=(\tan x)^{-1}\) のように負の指数で表してから微分する。
積の形の三角関数は、積の導関数の公式より、
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
※ 前を微分して後ろはそのまま、前はそのままで後ろを微分して、「微分そのまま+そのまま微分」と覚える。
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詳しい解説｜三角関数の微分
微分法 13関数 \(y=\sin 2x~,~\)\(y=\cos^3 x~,~\)\(y=2\sin^2 x~,~\)\(y=\tan 4x~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan x\,}~,~\)\(y=\sin x\cos x~,~\)\(y=x\sin 2x\) を微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=\sin 2x\) について、
\(u=2x\) とおくと、\(y=\sin u\) となる。
\((\sin u)^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}\) より、\(\cos 2x\) に中身の微分 \((2x)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\sin 2x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\cos 2x \cdot (2x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\cos 2x \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&2\cos 2x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=2\cos 2x\) となる
関数 \(y=\cos^3 x\) について、
\(u=\cos x\) とおくと、\(y=u^3\) となる。
\(u\) の \(3\) 次関数とみて微分し、\(u^{\prime}=(\cos x)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\cos^3 x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3\cos^2 x \cdot (\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3\cos^2 x \cdot (-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&-3\sin x\cos^2 x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=-3\sin x\cos^2 x\) となる
関数 \(y=2\sin^2 x\) について、
\(u=\sin x\) とおくと、\(y=2u^2\) となる。
\(u\) の \(2\) 次関数とみて微分し、\(u^{\prime}=(\sin x)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(2\sin^2 x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 2\sin x \cdot (\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&4\sin x \cdot \cos x
\\[3pt]~~~&=&4\sin x\cos x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=4\sin x\cos x\) となる
【別解】
\(2\) 倍角の公式 \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2\sin^2 x
\\[3pt]~~~&=&1-\cos 2x\end{eqnarray}\)
\((\cos u)^{\prime}=-\sin u \cdot u^{\prime}\) より、中身の微分 \((2x)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(1-\cos 2x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&0-(-\sin 2x) \cdot (2x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\sin 2x \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&2\sin 2x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=2\sin 2x\) となる
\(4\sin x\cos x=2 \cdot 2\sin x\cos x=2\sin 2x\) より、同じ結果となる。
関数 \(y=\tan 4x\) について、
\(u=4x\) とおくと、\(y=\tan u\) となる。
\((\tan u)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 u\,} \cdot u^{\prime}\) より、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 4x\,}\) に中身の微分 \((4x)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\tan 4x)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 4x\,} \cdot (4x)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 4x\,} \cdot 4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\cos^2 4x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\cos^2 4x\,}\) となる
関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan x\,}\) について、
負の指数を用いて表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan x\,}
\\[5pt]~~~&=&(\tan x)^{-1}\end{eqnarray}\)
\(u=\tan x\) とおくと、\(y=u^{-1}\) となる。
\(u\) の \(-1\) 次関数とみて微分し、\(u^{\prime}=(\tan x)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\{(\tan x)^{-1}\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-1 \cdot (\tan x)^{-2} \cdot (\tan x)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&-(\tan x)^{-2} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 x\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 x\cos^2 x\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\tan x=\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,\cos x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{y^{\prime}}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,\cos x\,}\right)^2\cos^2 x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin^2 x\,}{\,\cos^2 x\,} \cdot \cos^2 x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2 x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2 x\,}\) となる
【別解】
分子が \(1\) の商の導関数の公式より、分母を微分したものに \(-\) を付けて、分母の2乗で割るので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&-\displaystyle \frac{\,(\tan x)^{\prime}\,}{\,\tan^2 x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 x\,}\,}{\,\tan^2 x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 x\cos^2 x\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\tan x=\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,\cos x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{y^{\prime}}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,\cos x\,}\right)^2\cos^2 x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin^2 x\,}{\,\cos^2 x\,} \cdot \cos^2 x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2 x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2 x\,}\) となる
関数 \(y=\sin x\cos x\) について、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\sin x)^{\prime}\cos x+\sin x(\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\cos x \cdot \cos x+\sin x \cdot (-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&\cos^2 x-\sin^2 x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\cos^2 x-\sin^2 x\) となる
【別解】
\(2\) 倍角の公式 \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin x\cos x
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x\end{eqnarray}\)
\((\sin u)^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}\) より、中身の微分 \((2x)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos 2x \cdot (2x)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos 2x \cdot 2
\\[5pt]~~~&=&\cos 2x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\cos 2x\) となる
\(2\) 倍角の公式より \(\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x\) となり、同じ結果となる。
関数 \(y=x\sin 2x\) について、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となり、
\((\sin 2x)^{\prime}\) は \((\sin u)^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}\) を用いて微分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x)^{\prime}\sin 2x+x(\sin 2x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&1 \cdot \sin 2x+x \cdot \cos 2x \cdot (2x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\sin 2x+x\cos 2x \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&\sin 2x+2x\cos 2x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\sin 2x+2x\cos 2x\) となる
