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問題｜等比数列の和の公式と微分
微分法 12☆初項 \(1\)、公比 \(x~(x \neq 1)\) の等比数列の第 \(n\) 項までの和の公式を微分することで、\(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\) の値を求める方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
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等比数列の和の公式と微分
解法のPoint
等比数列の和の公式と微分
Point：等比数列の和の公式と微分初項 \(1\)、公比 \(x~(x \neq 1)\) の等比数列の初項から第 \(n+1\) 項までの和は、
\(1+x+x^2+\cdots+x^n=\displaystyle \frac{\,x^{n+1}-1\,}{\,x-1\,}\)
※ \(x \neq 1\) のすべての \(x\) で成り立つ等式なので、両辺を \(x\) で微分しても等式は成り立つ。
① 左辺を項ごとに微分して、求める和をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\end{eqnarray}\)
② 右辺を商の導関数の公式で微分する。
③ 両辺を微分した式が等しいことより、和を求める。
\(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\)
\(1+x+x^2+\cdots+x^n=\displaystyle \frac{\,x^{n+1}-1\,}{\,x-1\,}\)
※ \(x \neq 1\) のすべての \(x\) で成り立つ等式なので、両辺を \(x\) で微分しても等式は成り立つ。
① 左辺を項ごとに微分して、求める和をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\end{eqnarray}\)
② 右辺を商の導関数の公式で微分する。
\(\left(\displaystyle \frac{\,x^{n+1}-1\,}{\,x-1\,}\right)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
③ 両辺を微分した式が等しいことより、和を求める。
\(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\)
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詳しい解説｜等比数列の和の公式と微分
微分法 12☆初項 \(1\)、公比 \(x~(x \neq 1)\) の等比数列の第 \(n\) 項までの和の公式を微分することで、\(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\) の値を求める方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
初項 \(1\)、公比 \(x~(x \neq 1)\) の等比数列の初項から第 \(n+1\) 項までの和は、
\(\begin{eqnarray}~~~1+x+x^2+\cdots+x^n&=&\displaystyle \frac{\,x^{n+1}-1\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
この等式は \(x \neq 1\) のすべての \(x\) で成り立つので、両辺を \(x\) で微分すると、
左辺は、項ごとに微分して、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&0+1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\end{eqnarray}\)
また、右辺は、商の導関数の公式より、分子は「微分そのまま-そのまま微分」、分母は「分母の2乗」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\displaystyle \frac{\,x^{n+1}-1\,}{\,x-1\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x^{n+1}-1)^{\prime}(x-1)-(x^{n+1}-1)(x-1)^{\prime}\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1) \cdot 1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(n+1)x^{n+1}-(n+1)x^n-x^{n+1}+1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\{(n+1)-1\}x^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x^{n+1}-1)^{\prime}(x-1)-(x^{n+1}-1)(x-1)^{\prime}\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1) \cdot 1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(n+1)x^{n+1}-(n+1)x^n-x^{n+1}+1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\{(n+1)-1\}x^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、両辺を微分した式は等しいので、\(x \neq 1\) のとき、
\(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
となる
