このページは、「等比数列の和の公式と微分」の練習問題アーカイブページとなります。
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等比数列の和の公式と微分 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01自然数 \(n\) に対して、\(x \neq 1\) のとき、次の式が成り立つ。
\(1+x+x^2+\cdots+x^n=\displaystyle \frac{\,x^{n+1}-1\,}{\,x-1\,}\)
このことを利用して、次の和を求めよ。
\({\small (1)}~1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\)
\({\small (2)}~1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2^2\,}+\cdots+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n-1}\,}\)
\(1+x+x^2+\cdots+x^n=\displaystyle \frac{\,x^{n+1}-1\,}{\,x-1\,}\)
このことを利用して、次の和を求めよ。
\({\small (1)}~1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\)
\({\small (2)}~1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2^2\,}+\cdots+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n-1}\,}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.97 練習問題B 9
\({\small (1)}~\)初項 \(1\)、公比 \(x~(x \neq 1)\) の等比数列の初項から第 \(n+1\) 項までの和は、
\(\begin{eqnarray}~~~1+x+x^2+\cdots+x^n&=&\displaystyle \frac{\,x^{n+1}-1\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
この等式は \(x \neq 1\) のすべての \(x\) で成り立つので、両辺を \(x\) で微分すると、
左辺は、項ごとに微分して、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&0+1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\end{eqnarray}\)
また、右辺は、商の導関数の公式より、分子は「微分そのまま-そのまま微分」、分母は「分母の2乗」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\displaystyle \frac{\,x^{n+1}-1\,}{\,x-1\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x^{n+1}-1)^{\prime}(x-1)-(x^{n+1}-1)(x-1)^{\prime}\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1) \cdot 1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(n+1)x^{n+1}-(n+1)x^n-x^{n+1}+1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\{(n+1)-1\}x^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x^{n+1}-1)^{\prime}(x-1)-(x^{n+1}-1)(x-1)^{\prime}\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1) \cdot 1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(n+1)x^{n+1}-(n+1)x^n-x^{n+1}+1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\{(n+1)-1\}x^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、両辺を微分した式は等しいので、\(x \neq 1\) のとき、
\(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
となる
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) の結果の式に \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を代入すると、
左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+3\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\cdots+n\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2^2\,}+\cdots+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n-1}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2^2\,}+\cdots+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n-1}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,n\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n+1}-(n+1)\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n+1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n+1}\,}-\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2^n\,}+1\,}{\,\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n+1}\,}-\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2^n\,}+1\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n+1}\,}-4 \cdot \displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2^n\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n-1}\,}-\displaystyle \frac{\,2(n+1)\,}{\,2^{n-1}\,}+\displaystyle \frac{\,2^{n+1}\,}{\,2^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n-2(n+1)+2^{n+1}\,}{\,2^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n-2n-2+2^{n+1}\,}{\,2^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{n+1}-n-2\,}{\,2^{n-1}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n+1}\,}-\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2^n\,}+1\,}{\,\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n+1}\,}-\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2^n\,}+1\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n+1}\,}-4 \cdot \displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2^n\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n-1}\,}-\displaystyle \frac{\,2(n+1)\,}{\,2^{n-1}\,}+\displaystyle \frac{\,2^{n+1}\,}{\,2^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n-2(n+1)+2^{n+1}\,}{\,2^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n-2n-2+2^{n+1}\,}{\,2^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{n+1}-n-2\,}{\,2^{n-1}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2^2\,}+\cdots+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^{n-1}\,}=\displaystyle \frac{\,2^{n+1}-n-2\,}{\,2^{n-1}\,}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
となる
