- 数学Ⅲ｜微分法「3つの関数の積の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜3つの関数の積の導関数
微分法 11☆関数 \(f(x)~,~g(x)~,~h(x)\) が微分可能のとき、\(y=f(x)g(x)h(x)\) の導関数の求め方(証明方法)は？
また、関数 \(y=(x-1)(x+2)(x+3)\) を微分する方法は？
また、関数 \(y=(x-1)(x+2)(x+3)\) を微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
3つの関数の積の導関数
Point：3つの関数の積の導関数
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
関数 \(f(x)~,~g(x)~,~h(x)\) が微分可能であるとき、\(3\) つの関数の積の導関数は、
\(f(x)g(x)\) を \(1\) つの関数とみて、積の導関数の公式を \(2\) 回使うと、
\(\begin{eqnarray}&&\{f(x)g(x)h(x)\}^{\prime}\\[3pt]&=&f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
※ \(3\) つの関数のうち \(1\) つずつ順に微分して、残りはそのままにした \(3\) つの項の和となる。
関数 \(f(x)~,~g(x)\) が微分可能であるとき、積の導関数は、
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
関数 \(f(x)~,~g(x)~,~h(x)\) が微分可能であるとき、\(3\) つの関数の積の導関数は、
\(f(x)g(x)\) を \(1\) つの関数とみて、積の導関数の公式を \(2\) 回使うと、
\(\begin{eqnarray}&&\{f(x)g(x)h(x)\}^{\prime}\\[3pt]&=&f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
※ \(3\) つの関数のうち \(1\) つずつ順に微分して、残りはそのままにした \(3\) つの項の和となる。
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詳しい解説｜3つの関数の積の導関数
微分法 11☆関数 \(f(x)~,~g(x)~,~h(x)\) が微分可能のとき、\(y=f(x)g(x)h(x)\) の導関数の求め方(証明方法)は？
また、関数 \(y=(x-1)(x+2)(x+3)\) を微分する方法は？
また、関数 \(y=(x-1)(x+2)(x+3)\) を微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
[証明] \(f(x)g(x)\) を \(1\) つの関数とみると、
積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{f(x)g(x)h(x)\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\left[\,\{f(x)g(x)\}h(x)\,\right]^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\{f(x)g(x)\}^{\prime}h(x)+\{f(x)g(x)\}h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}\) に積の導関数の公式を使うと、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\}h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)
\\[3pt]~~~&=&f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{f(x)g(x)h(x)\}^{\prime}\\[3pt]~~~&=&f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
が成り立つ [終]
関数 \(y=(x-1)(x+2)(x+3)\) を微分すると、
\(3\) つの関数の積の導関数の公式より、\(1\) つずつ順に微分した \(3\) つの項の和となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x-1)^{\prime}(x+2)(x+3)+(x-1)(x+2)^{\prime}(x+3)+(x-1)(x+2)(x+3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&1 \cdot (x+2)(x+3)+(x-1) \cdot 1 \cdot (x+3)+(x-1)(x+2) \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&(x+2)(x+3)+(x-1)(x+3)+(x-1)(x+2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+3x+2x+6)+(x^2+3x-x-3)+(x^2+2x-x-2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+5x+6)+(x^2+2x-3)+(x^2+x-2)
\\[3pt]~~~&=&x^2+5x+6+x^2+2x-3+x^2+x-2
\\[3pt]~~~&=&3x^2+8x+1\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&1 \cdot (x+2)(x+3)+(x-1) \cdot 1 \cdot (x+3)+(x-1)(x+2) \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&(x+2)(x+3)+(x-1)(x+3)+(x-1)(x+2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+3x+2x+6)+(x^2+3x-x-3)+(x^2+2x-x-2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+5x+6)+(x^2+2x-3)+(x^2+x-2)
\\[3pt]~~~&=&x^2+5x+6+x^2+2x-3+x^2+x-2
\\[3pt]~~~&=&3x^2+8x+1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(y^{\prime}=3x^2+8x+1\) となる
