- 数学Ⅲ｜微分法「xⁿ(nは有理数)の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜xⁿ(nは有理数)の導関数
微分法 10関数 \(y=\sqrt[3]{\,x\,}~,~\)\(y=x\sqrt{\,x\,}~,~\)\(y=\sqrt[3]{\,(2x-1)^2\,}\) を \(y=x^n\) (\(n\) は有理数) として微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
xⁿ(nは有理数)の導関数
Point：xⁿ(nは有理数)の導関数
\(n\) が有理数のとき \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\)
① 累乗根を有理数の指数で表す。
\(\sqrt[m]{\,x^k\,}=x^{\large \frac{k}{m}}\)
② 公式 \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) を用いて微分する。
③ 指数を累乗根に戻して答える。
※ \((2x-1)^n\) のような \(x\) の式の累乗は、合成関数の微分法も用いる。
\(n\) が有理数でも、\(x^n\) の導関数の公式が成り立つ。
\(n\) が有理数のとき \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\)
① 累乗根を有理数の指数で表す。
\(\sqrt[m]{\,x^k\,}=x^{\large \frac{k}{m}}\)
② 公式 \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) を用いて微分する。
③ 指数を累乗根に戻して答える。
※ \((2x-1)^n\) のような \(x\) の式の累乗は、合成関数の微分法も用いる。
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詳しい解説｜xⁿ(nは有理数)の導関数
微分法 10関数 \(y=\sqrt[3]{\,x\,}~,~\)\(y=x\sqrt{\,x\,}~,~\)\(y=\sqrt[3]{\,(2x-1)^2\,}\) を \(y=x^n\) (\(n\) は有理数) として微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
\(y=\sqrt[3]{\,x\,}\) は \(y=x^{\large \frac{1}{3}}\) と表せるので、
\((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) の \(n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) の場合として微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\left(x^{\large \frac{1}{3}}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot x^{\large \frac{1}{3}-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^{-\large \frac{2}{3}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3x^{\large \frac{2}{3}}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\sqrt[3]{\,x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\sqrt[3]{\,x^2\,}\,}\) となる
\(y=x\sqrt{\,x\,}\) は \(y=x \cdot x^{\large \frac{1}{2}}=x^{\large \frac{3}{2}}\) と表せるので、
\((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) の \(n=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) の場合として微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\left(x^{\large \frac{3}{2}}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot x^{\large \frac{3}{2}-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^{\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\sqrt{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\sqrt{\,x\,}\) となる
\(y=\sqrt[3]{\,(2x-1)^2\,}\) は \(y=(2x-1)^{\large \frac{2}{3}}\) と表せるので、
合成関数の微分法と \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) を用いて微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(2x-1)^{\large \frac{2}{3}-1} \cdot (2x-1)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(2x-1)^{-\large \frac{1}{3}} \cdot 2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}(2x-1)^{-\large \frac{1}{3}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3(2x-1)^{\large \frac{1}{3}}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\sqrt[3]{\,2x-1\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\sqrt[3]{\,2x-1\,}\,}\) となる
