- 数学Ⅲ｜微分法「逆関数の微分法」の基本例題解説ページです。
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問題｜逆関数の微分法
微分法 09関数 \(y=\sqrt[3]{\,x\,}\) を逆関数の微分法を使って微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
逆関数の微分法
Point：逆関数の微分法
① 両辺を \(3\) 乗して、\(x\) を \(y\) の関数で表す。
\(x=y^3\)
② 両辺を \(y\) で微分して、\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}=3y^2\)
③ 逆関数の微分法 \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\,}\) より、逆数をとって \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3y^2\,}\)
④ \(y=\sqrt[3]{\,x\,}\) を代入して、\(x\) の式に戻す。
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\sqrt[3]{\,x^2\,}\,}\)
逆関数の微分法を使った関数 \(y=\sqrt[3]{\,x\,}\) の微分は、
① 両辺を \(3\) 乗して、\(x\) を \(y\) の関数で表す。
\(x=y^3\)
② 両辺を \(y\) で微分して、\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}=3y^2\)
③ 逆関数の微分法 \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\,}\) より、逆数をとって \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3y^2\,}\)
④ \(y=\sqrt[3]{\,x\,}\) を代入して、\(x\) の式に戻す。
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\sqrt[3]{\,x^2\,}\,}\)
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詳しい解説｜逆関数の微分法
微分法 09関数 \(y=\sqrt[3]{\,x\,}\) を逆関数の微分法を使って微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
\(y=\sqrt[3]{\,x\,}\) の両辺を \(3\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^3&=&(\sqrt[3]{\,x\,})^3
\\[3pt]~~~y^3&=&x\end{eqnarray}\)
よって、\(x\) を \(y\) の関数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&y^3\end{eqnarray}\)
両辺を \(y\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}&=&3y^2\end{eqnarray}\)
\(x \neq 0\) のとき、\(y \neq 0\) より \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,} \neq 0\) となるので、
逆関数の微分法より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3y^2\,}\end{eqnarray}\)
\(y=\sqrt[3]{\,x\,}\) を代入して、\(x\) の式に戻すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3(\sqrt[3]{\,x\,})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\sqrt[3]{\,x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\sqrt[3]{\,x^2\,}\,}\) となる
