- 数学Ⅲ｜微分法「合成関数の微分」の基本例題解説ページです。
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問題｜合成関数の微分
微分法 08関数 \(y=(3x^2-1)^2\) や \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2x+1)^2\,}\) を合成関数の微分法で微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
合成関数の微分
Point：合成関数の微分
\(\{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)\)
つまり、（外側の関数の微分）\({\, \small \times \,}\)（中身の微分）で求められる。
① 中身 \(g(x)\) をひとかたまりとみて、外側の関数を微分する。
② 中身 \(g(x)\) を微分したものを掛ける。
\(\{(3x^2-1)^2\}^{\prime}=2(3x^2-1) \cdot (3x^2-1)^{\prime}\)
※ 分数の形は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2x+1)^2\,}=(2x+1)^{-2}\) のように負の指数で表してから微分する。
合成関数 \(y=f(g(x))\) の導関数は、
\(\{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)\)
つまり、（外側の関数の微分）\({\, \small \times \,}\)（中身の微分）で求められる。
① 中身 \(g(x)\) をひとかたまりとみて、外側の関数を微分する。
② 中身 \(g(x)\) を微分したものを掛ける。
\(\{(3x^2-1)^2\}^{\prime}=2(3x^2-1) \cdot (3x^2-1)^{\prime}\)
※ 分数の形は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2x+1)^2\,}=(2x+1)^{-2}\) のように負の指数で表してから微分する。
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詳しい解説｜合成関数の微分
微分法 08関数 \(y=(3x^2-1)^2\) や \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2x+1)^2\,}\) を合成関数の微分法で微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=(3x^2-1)^2\) について、
\(g(x)=3x^2-1\) とおくと、\(y=\{g(x)\}^2\) となる。
中身 \(3x^2-1\) をひとかたまりとみて微分し、中身の微分 \((3x^2-1)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\{(3x^2-1)^2\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2(3x^2-1) \cdot (3x^2-1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2(3x^2-1) \cdot 6x
\\[3pt]~~~&=&12x(3x^2-1)\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=12x(3x^2-1)\) となる
関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2x+1)^2\,}\) について、
負の指数を用いて表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2x+1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&(2x+1)^{-2}\end{eqnarray}\)
\(g(x)=2x+1\) とおくと、\(y=\{g(x)\}^{-2}\) となる。
中身 \(2x+1\) をひとかたまりとみて微分し、中身の微分 \((2x+1)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\{(2x+1)^{-2}\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-2(2x+1)^{-3} \cdot (2x+1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-2(2x+1)^{-3} \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&-4(2x+1)^{-3}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,(2x+1)^3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,(2x+1)^3\,}\) となる
