- 数学Ⅲ｜微分法「xⁿ(nは整数)の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜xⁿ(nは整数)の導関数
微分法 07関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~\)\(y=3x^{-1}-x^{-2}\) を \(y=x^n\) (\(n\) は整数) として微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
xⁿ(nは整数)の導関数
Point：xⁿ(nは整数)の導関数
\(n\) が整数のとき \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\)
※ 分数の形の関数は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^n\,}=x^{-n}\) と表してから微分する。
\(n\) が負の整数でも、\(x^n\) の導関数の公式が成り立つ。
\(n\) が整数のとき \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\)
※ 分数の形の関数は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^n\,}=x^{-n}\) と表してから微分する。
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詳しい解説｜xⁿ(nは整数)の導関数
微分法 07関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~\)\(y=3x^{-1}-x^{-2}\) を \(y=x^n\) (\(n\) は整数) として微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) は \(y=x^{-1}\) と表せるので、
\((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) の \(n=-1\) の場合として微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x^{-1})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-1 \cdot x^{-1-1}
\\[3pt]~~~&=&-x^{-2}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) となる
\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) は \(y=x^{-2}\) と表せるので、
\((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) の \(n=-2\) の場合として微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x^{-2})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-2 \cdot x^{-2-1}
\\[3pt]~~~&=&-2x^{-3}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}\) となる
\(y=3x^{-1}-x^{-2}\) を、項ごとに \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) を用いて微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&3(x^{-1})^{\prime}-(x^{-2})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1}-(-2) \cdot x^{-2-1}
\\[3pt]~~~&=&-3x^{-2}+2x^{-3}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-3x+2\,}{\,x^3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,-3x+2\,}{\,x^3\,}\) となる
