- 数学Ⅲ｜微分法「商の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜商の導関数
微分法 06関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x-1\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-3\,}\) を商の導関数の公式を使って微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
商の導関数
Point：商の導関数
\(\left\{\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,g(x)\,}\right\}^{\prime}=\displaystyle \frac{\,f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,}\)
※ 分子は「微分そのまま-そのまま微分」、分母は「分母の2乗」と覚える。
特に、分子が \(f(x)=1\) のときは、
\(\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,g(x)\,}\right\}^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,g^{\prime}(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,}\)
※ 分子が \(1\) のときは、分母を微分したものに \(-\) を付けて、分母の2乗で割ればよい。
関数 \(f(x)~,~g(x)\) が微分可能で、\(g(x) \neq 0\) であるとき、商の導関数は、
\(\left\{\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,g(x)\,}\right\}^{\prime}=\displaystyle \frac{\,f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,}\)
※ 分子は「微分そのまま-そのまま微分」、分母は「分母の2乗」と覚える。
特に、分子が \(f(x)=1\) のときは、
\(\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,g(x)\,}\right\}^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,g^{\prime}(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,}\)
※ 分子が \(1\) のときは、分母を微分したものに \(-\) を付けて、分母の2乗で割ればよい。
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詳しい解説｜商の導関数
微分法 06関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x-1\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-3\,}\) を商の導関数の公式を使って微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x-1\,}\) を微分すると、
分子が \(1\) の商の導関数の公式より、分母を微分したものに \(-\) を付けて、分母の2乗で割るので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&-\displaystyle \frac{\,(2x-1)^{\prime}\,}{\,(2x-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(2x-1)^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(2x-1)^2\,}\) となる
関数 \(y=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-3\,}\) を微分すると、
商の導関数の公式より、分子は「微分そのまま-そのまま微分」、分母は「分母の2乗」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,(2x+1)^{\prime}(x-3)-(2x+1)(x-3)^{\prime}\,}{\,(x-3)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-3)-(2x+1) \cdot 1\,}{\,(x-3)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x-6-2x-1\,}{\,(x-3)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-7\,}{\,(x-3)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,(x-3)^2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-3)-(2x+1) \cdot 1\,}{\,(x-3)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x-6-2x-1\,}{\,(x-3)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-7\,}{\,(x-3)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,(x-3)^2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,(x-3)^2\,}\) となる
