- 数学Ⅲ｜微分法「導関数の性質と積の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜導関数の性質と積の導関数
微分法 05関数 \(y=x^4-2x^3+5x^2-3x+1\) を微分する方法は？また、関数 \(y=(2x-1)(x^2-5x+2)\) を積の導関数の公式を使って微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
導関数の性質と積の導関数
Point：導関数の性質と積の導関数
\(\{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)\)
\(\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\)
\(\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\)
※ 定数倍や和・差の関数は、\((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) を使って項ごとに微分すればよい。
関数 \(f(x)~,~g(x)\) が微分可能であるとき、積の導関数は、
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
※ 前を微分して後ろはそのまま、前はそのままで後ろを微分して、「微分そのまま+そのまま微分」と覚える。
関数 \(f(x)~,~g(x)\) が微分可能で、\(k~,~l\) を定数とするとき、導関数の性質は、
\(\{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)\)
\(\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\)
\(\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\)
※ 定数倍や和・差の関数は、\((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\) を使って項ごとに微分すればよい。
関数 \(f(x)~,~g(x)\) が微分可能であるとき、積の導関数は、
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
※ 前を微分して後ろはそのまま、前はそのままで後ろを微分して、「微分そのまま+そのまま微分」と覚える。
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詳しい解説｜導関数の性質と積の導関数
微分法 05関数 \(y=x^4-2x^3+5x^2-3x+1\) を微分する方法は？また、関数 \(y=(2x-1)(x^2-5x+2)\) を積の導関数の公式を使って微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=x^4-2x^3+5x^2-3x+1\) を微分すると、
導関数の性質より、項ごとに微分できるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x^4-2x^3+5x^2-3x+1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&(x^4)^{\prime}-2(x^3)^{\prime}+5(x^2)^{\prime}-3(x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&4x^3-2 \cdot 3x^2+5 \cdot 2x-3 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&4x^3-6x^2+10x-3\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=4x^3-6x^2+10x-3\) となる
関数 \(y=(2x-1)(x^2-5x+2)\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(2x-1)^{\prime}(x^2-5x+2)+(2x-1)(x^2-5x+2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2(x^2-5x+2)+(2x-1)(2x-5)
\\[3pt]~~~&=&(2x^2-10x+4)+(4x^2-10x-2x+5)
\\[3pt]~~~&=&2x^2-10x+4+4x^2-12x+5
\\[3pt]~~~&=&6x^2-22x+9\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2(x^2-5x+2)+(2x-1)(2x-5)
\\[3pt]~~~&=&(2x^2-10x+4)+(4x^2-10x-2x+5)
\\[3pt]~~~&=&2x^2-10x+4+4x^2-12x+5
\\[3pt]~~~&=&6x^2-22x+9\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(y^{\prime}=6x^2-22x+9\) となる
導関数の性質の証明
証明01関数 \(f(x)~,~g(x)\) が微分可能で、\(k~,~l\) を定数とするとき、次の導関数の性質が成り立つことを証明せよ。
\({\small [\,1\,]}~\{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)\)
\({\small [\,2\,]}~\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\)
\({\small [\,3\,]}~\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\)
\({\small [\,1\,]}~\{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)\)
\({\small [\,2\,]}~\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\)
\({\small [\,3\,]}~\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\)
高校数学Ⅲ｜微分法
[証明] \({\small [\,1\,]}~\)\(\{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)\) について
\(f(x)\) は微分可能であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
よって、導関数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{kf(x)\}^{\prime}&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,kf(x+h)-kf(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,k\{f(x+h)-f(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&k\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&kf^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)\) が成り立つ
\({\small [\,2\,]}~\)\(\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\) について
導関数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{f(x)+g(x)\}^{\prime}&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}\,\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}\,\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(f(x)~,~g(x)\) は微分可能であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}&=&f^{\prime}(x)
\\[5pt]~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}&=&g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\{f(x)+g(x)\}^{\prime}&=&f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\) が成り立つ
\({\small [\,3\,]}~\)\(\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\) について
導関数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\{kf(x+h)+lg(x+h)\}-\{kf(x)+lg(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,k\{f(x+h)-f(x)\}+l\{g(x+h)-g(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{\,k \cdot \displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+l \cdot \displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}\,\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,k\{f(x+h)-f(x)\}+l\{g(x+h)-g(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{\,k \cdot \displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+l \cdot \displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}\,\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(f(x)~,~g(x)\) は微分可能であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}&=&f^{\prime}(x)
\\[5pt]~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}&=&g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}&=&kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\) が成り立つ [終]
