- 数学Ⅲ｜微分法「極限式の導関数での表し方」の基本例題解説ページです。
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問題｜極限式の導関数での表し方
微分法 04☆\(a\) を定数として、関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能であるとき、\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) を \(f^{\prime}(a)\) を用いて表す方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
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極限式の導関数での表し方
解法のPoint
極限式の導関数での表し方
Point：極限式の導関数での表し方極限の式を \(f^{\prime}(a)\) を用いて表すときは、
① 分子に \(f(a+3h)\) があれば分母を \(3h\) にし、\(f(a+h)~,~f(a-h)\) があれば \(f(a)\) を引いて加えて \(2\) つの式に分ける。
\(f(a+3h)\) のタイプは、
\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,3h\,} \cdot 3\end{eqnarray}\)
\(f(a+h)~,~f(a-h)\) のタイプは、
② 微分係数の定義の式を用いる。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
※ \(3h=k~,~-h=k\) のようにおきかえると、定義の式の形になる。
① 分子に \(f(a+3h)\) があれば分母を \(3h\) にし、\(f(a+h)~,~f(a-h)\) があれば \(f(a)\) を引いて加えて \(2\) つの式に分ける。
\(f(a+3h)\) のタイプは、
\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,3h\,} \cdot 3\end{eqnarray}\)
\(f(a+h)~,~f(a-h)\) のタイプは、
\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
② 微分係数の定義の式を用いる。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
※ \(3h=k~,~-h=k\) のようにおきかえると、定義の式の形になる。
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詳しい解説｜極限式の導関数での表し方
微分法 04☆\(a\) を定数として、関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能であるとき、\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) を \(f^{\prime}(a)\) を用いて表す方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+3h)\) があるので、分母を \(3h\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,3h\,} \cdot 3\end{eqnarray}\)
ここで、\(3h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&3f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(3f^{\prime}(a)\) となる
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+h)\) と \(f(a-h)\) があるので、\(f(a)\) を引いて加えて \(2\) つの式に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)-\left\{\,f(a-h)-f(a)\,\right\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}-\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)-\left\{\,f(a-h)-f(a)\,\right\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}-\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、微分係数の定義より、
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}=f^{\prime}(a)\)
また、\(-h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)+f^{\prime}(a)
\\[3pt]~~~&=&2f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(2f^{\prime}(a)\) となる
