このページは、「極限式の導関数での表し方」の練習問題アーカイブページとなります。
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極限式の導関数での表し方 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a\) は定数とする。関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能であるとき、次の極限値を \(f^{\prime}(a)\) を用いて表せ。
\({\small (1)}~\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+2h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\)
\({\small (1)}~\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+2h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\)
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.86 問題 5
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\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+2h)-f(a)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+2h)\) があるので、分母を \(2h\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+2h)-f(a)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+2h)-f(a)\,}{\,2h\,} \cdot 2\end{eqnarray}\)
ここで、\(2h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&2f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(2f^{\prime}(a)\) となる
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a-h)\) があるので、分母を \(-h\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,} \cdot (-1)\end{eqnarray}\)
ここで、\(-h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&-f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(-f^{\prime}(a)\) となる
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+h)\) と \(f(a-h)\) があるので、\(f(a)\) を引いて加えて \(2\) つの式に分けると、
ここで、微分係数の定義より、
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}=f^{\prime}(a)\)
また、\(-h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)+f^{\prime}(a)
\\[3pt]~~~&=&2f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(2f^{\prime}(a)\) となる
分子に \(f(a+2h)\) があるので、分母を \(2h\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+2h)-f(a)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+2h)-f(a)\,}{\,2h\,} \cdot 2\end{eqnarray}\)
ここで、\(2h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&2f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(2f^{\prime}(a)\) となる
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a-h)\) があるので、分母を \(-h\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,} \cdot (-1)\end{eqnarray}\)
ここで、\(-h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&-f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(-f^{\prime}(a)\) となる
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+h)\) と \(f(a-h)\) があるので、\(f(a)\) を引いて加えて \(2\) つの式に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)-\left\{\,f(a-h)-f(a)\,\right\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}-\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)-\left\{\,f(a-h)-f(a)\,\right\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}-\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、微分係数の定義より、
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}=f^{\prime}(a)\)
また、\(-h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)+f^{\prime}(a)
\\[3pt]~~~&=&2f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(2f^{\prime}(a)\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(x=a\) で微分可能な関数 \(f(x)\) について、次のことを示せ。
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}=2f^{\prime}(a)\)
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}=2f^{\prime}(a)\)
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.99 章末問題B 8
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.99 章末問題B 8
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[証明]
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+h)\) と \(f(a-h)\) があるので、\(f(a)\) を引いて加えて \(2\) つの式に分けると、
ここで、微分係数の定義より、
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}=f^{\prime}(a)\)
また、\(-h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)+f^{\prime}(a)
\\[3pt]~~~&=&2f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}=2f^{\prime}(a)\) となる
[終]
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+h)\) と \(f(a-h)\) があるので、\(f(a)\) を引いて加えて \(2\) つの式に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)-\left\{\,f(a-h)-f(a)\,\right\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}-\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)-\left\{\,f(a-h)-f(a)\,\right\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}-\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\left\{\,\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、微分係数の定義より、
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}=f^{\prime}(a)\)
また、\(-h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(a)+f^{\prime}(a)
\\[3pt]~~~&=&2f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}=2f^{\prime}(a)\) となる
[終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能であるとき、\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}\) を \(f^{\prime}(a)\) を用いて表せ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.96 練習問題A 2
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\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}\) について、
分子に \(f(a+3h)\) があるので、分母を \(3h\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,3h\,} \cdot 3\end{eqnarray}\)
ここで、\(3h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&3f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(3f^{\prime}(a)\) となる
分子に \(f(a+3h)\) があるので、分母を \(3h\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+3h)-f(a)\,}{\,3h\,} \cdot 3\end{eqnarray}\)
ここで、\(3h=k\) とおくと、\(h \to 0\) のとき \(k \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3\displaystyle \lim_{k \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+k)-f(a)\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&3f^{\prime}(a)\end{eqnarray}\)
したがって、\(3f^{\prime}(a)\) となる
