- 数学Ⅲ｜微分法「定義に従った導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜定義に従った導関数
微分法 03関数 \(f(x)=\sqrt{\,x\,}~,~\)\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の導関数を定義に従って求める方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
定義に従った導関数
Point：定義に従った導関数
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}\)
※ そのまま \(h \to 0\) とすると \(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の形になるので、分子を変形して \(h\) を約分する。
① \(\sqrt{\,x\,}\) を含む関数では、分子を有理化する。
\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x+h\,}-\sqrt{\,x\,}\,}{\,h\,}=\displaystyle \frac{\,(x+h)-x\,}{\,h(\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,})\,}\)
② 分数の形の関数では、分子を通分する。
\(\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+h\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,h\,}=\displaystyle \frac{\,x-(x+h)\,}{\,hx(x+h)\,}\)
関数 \(f(x)\) の導関数 \(f^{\prime}(x)\) の定義は、
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}\)
※ そのまま \(h \to 0\) とすると \(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の形になるので、分子を変形して \(h\) を約分する。
① \(\sqrt{\,x\,}\) を含む関数では、分子を有理化する。
\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x+h\,}-\sqrt{\,x\,}\,}{\,h\,}=\displaystyle \frac{\,(x+h)-x\,}{\,h(\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,})\,}\)
② 分数の形の関数では、分子を通分する。
\(\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+h\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,h\,}=\displaystyle \frac{\,x-(x+h)\,}{\,hx(x+h)\,}\)
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詳しい解説｜定義に従った導関数
微分法 03関数 \(f(x)=\sqrt{\,x\,}~,~\)\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の導関数を定義に従って求める方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(f(x)=\sqrt{\,x\,}\) について、導関数 \(f^{\prime}(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x+h\,}-\sqrt{\,x\,}\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
分子を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{f^{\prime}(x)}&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,x+h\,}-\sqrt{\,x\,})(\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,})\,}{\,h(\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,(x+h)-x\,}{\,h(\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,h\,}{\,h(\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,x\,}+\sqrt{\,x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{\,x\,}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,(x+h)-x\,}{\,h(\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,h\,}{\,h(\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,x+h\,}+\sqrt{\,x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,x\,}+\sqrt{\,x\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{\,x\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(f^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{\,x\,}\,}\) となる
関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) について、導関数 \(f^{\prime}(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+h\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
分子を通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{f^{\prime}(x)}&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,x-(x+h)\,}{\,x(x+h)\,}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,x-(x+h)\,}{\,hx(x+h)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,-h\,}{\,hx(x+h)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x(x+h)\,}\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x \cdot x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(f^{\prime}(x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) となる
