このページは、「三角関数の逆関数の導関数」の練習問題アーカイブページとなります。
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三角関数の逆関数の導関数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(y=\sin x~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) の逆関数を \(f(x)\) とする。\(f^{\prime}(x)\) を求めたいが、\(f(x)\) はこれまでに学んだ関数で表すことができない。
\({\small (1)}~\)\(f(x)\) の定義域、値域を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(y=f(x)\) について、\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\) を \(y\) の関数として表せ。
\({\small (3)}~\)\(f^{\prime}(x)\) を \(x\) の関数として表せ。
\({\small (1)}~\)\(f(x)\) の定義域、値域を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(y=f(x)\) について、\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\) を \(y\) の関数として表せ。
\({\small (3)}~\)\(f^{\prime}(x)\) を \(x\) の関数として表せ。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.97 問題 14
\({\small (1)}~\)\(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき、関数 \(y=\sin x\) の値域は、
\(\begin{eqnarray}~~~-1&\lt&y\lt 1\end{eqnarray}\)
逆関数の定義域と値域は、もとの関数の値域と定義域を入れ替えたものとなるので、
したがって、\(f(x)\) の定義域は \(-1\lt x\lt 1\)、値域は \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~\)関数 \(y=\sin x\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えて、逆関数 \(y=f(x)\) を表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\sin y~~~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
両辺を \(y\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}&=&\cos y\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}=\cos y\) となる
\({\small (3)}~\)\(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) では \(\cos y\gt 0\) より \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,} \neq 0\) となるので、
逆関数の微分法より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos y\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\cos y\gt 0\) と三角関数の相互関係 \(\sin^2 y+\cos^2 y=1\) より、\(\cos y=\sqrt{\,1-\sin^2 y\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{f^{\prime}(x)}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,1-\sin^2 y\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin y=x\) を代入して、\(x\) の式に戻すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{f^{\prime}(x)}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,1-x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(f^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,1-x^2\,}\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(x~,~y\) が次の式を満たすとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を求めよ。
\(x=\tan y~~~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\)
\(x=\tan y~~~\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.97 練習問題B 10
\(x=\tan y\) の両辺を \(y\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\end{eqnarray}\)
\(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt y\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) では \(\cos y \neq 0\) より \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,} \neq 0\) となるので、
逆関数の微分法より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dy\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos^2 y\end{eqnarray}\)
ここで、三角関数の相互関係 \(1+\tan^2 y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 y\,}\) より、\(\cos^2 y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 y\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 y\,}\end{eqnarray}\)
\(\tan y=x\) を代入して、\(x\) の式に戻すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\) となる
