- 数学Ⅲ｜微分法「対数微分法」の基本例題解説ページです。
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問題｜対数微分法
微分法 16関数 \(y=\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,x-1\,}~,~\)\(y=\sqrt[3]{\,x(x+1)\,}~,~\)\(y=x^x~(x\gt 0)\) を対数微分法で微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
対数微分法
Point：対数微分法
① 両辺の絶対値の自然対数をとる。
\(\log|\,y\,|=\log|\,f(x)\,|\)
② 対数の性質を用いて、右辺を和・差・定数倍の形に変形する。
\(\log MN=\log M+\log N\)
\(\log \displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\log M-\log N\)
\(\log M^r=r\log M\)
③ 両辺を \(x\) で微分する。
このとき、左辺は合成関数の微分と考えて、
\((\log|\,y\,|)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}\)
④ 両辺に \(y\) をかけて、\(y^{\prime}\) を求める。
※ \(y\gt 0\) のときは、絶対値を付けずに両辺の自然対数をとる。
積・商・累乗の形の関数は、両辺の対数をとってから微分すると計算しやすく、この方法を対数微分法という。
① 両辺の絶対値の自然対数をとる。
\(\log|\,y\,|=\log|\,f(x)\,|\)
② 対数の性質を用いて、右辺を和・差・定数倍の形に変形する。
\(\log MN=\log M+\log N\)
\(\log \displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\log M-\log N\)
\(\log M^r=r\log M\)
③ 両辺を \(x\) で微分する。
このとき、左辺は合成関数の微分と考えて、
\((\log|\,y\,|)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}\)
④ 両辺に \(y\) をかけて、\(y^{\prime}\) を求める。
※ \(y\gt 0\) のときは、絶対値を付けずに両辺の自然対数をとる。
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詳しい解説｜対数微分法
微分法 16関数 \(y=\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,x-1\,}~,~\)\(y=\sqrt[3]{\,x(x+1)\,}~,~\)\(y=x^x~(x\gt 0)\) を対数微分法で微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,x-1\,}\) について、
両辺の絶対値の自然対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log|\,y\,|&=&\log\left|\,\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,x-1\,}\,\right|
\\[5pt]~~~\log|\,y\,|&=&\log|\,x+1\,|^2-\log|\,x-1\,|
\\[3pt]~~~\log|\,y\,|&=&2\log|\,x+1\,|-\log|\,x-1\,|\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+1\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-1)-(x+1)\,}{\,(x+1)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x-2-x-1\,}{\,(x+1)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x-3\,}{\,(x+1)(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
両辺に \(y=\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,x-1\,}\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,x-3\,}{\,(x+1)(x-1)\,} \cdot y
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x-3\,}{\,(x+1)(x-1)\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x+1)(x-3)\,}{\,(x-1)^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,(x+1)(x-3)\,}{\,(x-1)^2\,}\) となる
関数 \(y=\sqrt[3]{\,x(x+1)\,}\) について、
両辺の絶対値の自然対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log|\,y\,|&=&\log\left|\,\sqrt[3]{\,x(x+1)\,}\,\right|
\\[3pt]~~~\log|\,y\,|&=&\log|\,x(x+1)\,|^{\large \frac{1}{3}}
\\[5pt]~~~\log|\,y\,|&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\log|\,x(x+1)\,|
\\[5pt]~~~\log|\,y\,|&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\log|\,x\,|+\log|\,x+1\,|)\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+1\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(x+1)+x\,}{\,x(x+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x(x+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,3x(x+1)\,}\end{eqnarray}\)
両辺に \(y=\sqrt[3]{\,x(x+1)\,}\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,3x(x+1)\,} \cdot y
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,3x(x+1)\,} \cdot \sqrt[3]{\,x(x+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2x+1)\sqrt[3]{\,x(x+1)\,}\,}{\,3x(x+1)\,}\end{eqnarray}\)
\(x(x+1)=\sqrt[3]{\,x^3(x+1)^3\,}\) として、分母と分子の \(\sqrt[3]{\,x(x+1)\,}\) を約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{y^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,(2x+1)\sqrt[3]{\,x(x+1)\,}\,}{\,3\sqrt[3]{\,x^3(x+1)^3\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,3\sqrt[3]{\,x^2(x+1)^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,3\sqrt[3]{\,x^2(x+1)^2\,}\,}\) となる
関数 \(y=x^x~(x\gt 0)\) について、
\(x\gt 0\) より \(y=x^x\gt 0\) なので、絶対値を付けずに両辺の自然対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log y&=&\log x^x
\\[3pt]~~~\log y&=&x\log x\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) で微分すると、
右辺は積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}&=&(x)^{\prime}\log x+x(\log x)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \log x+x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\log x+1\end{eqnarray}\)
両辺に \(y=x^x\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\log x+1) \cdot y
\\[3pt]~~~&=&x^x(\log x+1)\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=x^x(\log x+1)\) となる
