- 数学Ⅲ｜微分法「xⁿ(nは実数)の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜xⁿ(nは実数)の導関数
微分法 17関数 \(y=x^{\sqrt{2}}\) を \((x^a)^{\prime}=ax^{a-1}\) (\(a\) は実数) を使って微分する方法は？また、対数微分法で微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
xⁿ(nは実数)の導関数
Point：xⁿ(nは実数)の導関数
\(a\) が実数のとき \((x^a)^{\prime}=ax^{a-1}\)
対数微分法で微分するときは、
① \(x\gt 0\) より \(y\gt 0\) なので、両辺の自然対数をとる。
\(\log y=\log x^a=a\log x\)
② 両辺を \(x\) で微分する。
\(\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,x\,}\)
③ 両辺に \(y=x^a\) をかけて、\(y^{\prime}\) を求める。
※ 指数 \(a\) が無理数のとき、\(x^a\) は \(x\gt 0\) で考える。
\(a\) が実数でも、\(x^a\) の導関数の公式が成り立つ。
\(a\) が実数のとき \((x^a)^{\prime}=ax^{a-1}\)
対数微分法で微分するときは、
① \(x\gt 0\) より \(y\gt 0\) なので、両辺の自然対数をとる。
\(\log y=\log x^a=a\log x\)
② 両辺を \(x\) で微分する。
\(\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,x\,}\)
③ 両辺に \(y=x^a\) をかけて、\(y^{\prime}\) を求める。
※ 指数 \(a\) が無理数のとき、\(x^a\) は \(x\gt 0\) で考える。
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詳しい解説｜xⁿ(nは実数)の導関数
微分法 17関数 \(y=x^{\sqrt{2}}\) を \((x^a)^{\prime}=ax^{a-1}\) (\(a\) は実数) を使って微分する方法は？また、対数微分法で微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=x^{\sqrt{2}}\) について、
\((x^a)^{\prime}=ax^{a-1}\) の \(a=\sqrt{2}\) の場合として微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\left(x^{\sqrt{2}}\right)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}-1}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}-1}\) となる
関数 \(y=x^{\sqrt{2}}\) を対数微分法で微分するとき、
\(x\gt 0\) より \(y=x^{\sqrt{2}}\gt 0\) なので、両辺の自然対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log y&=&\log x^{\sqrt{2}}
\\[3pt]~~~\log y&=&\sqrt{2}\log x\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y^{\prime}\,}{\,y\,}&=&\sqrt{2} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
両辺に \(y=x^{\sqrt{2}}\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,x\,} \cdot y
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,x\,} \cdot x^{\sqrt{2}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}}\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}-1}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}-1}\) となる
