- 数学Ⅲ｜微分法「指数関数の微分」の基本例題解説ページです。
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問題｜指数関数の微分
微分法 18関数 \(y=e^{3x}~,~\)\(y=2^{-3x}~,~\)\(y=xe^x\) を微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
指数関数の微分
Point：指数関数の微分
\((e^u)^{\prime}=e^u \cdot u^{\prime}\)
\((a^u)^{\prime}=a^u\log a \cdot u^{\prime}\)
※ \(a\gt 0~,~a\neq 1\) で、\(\log a\) は自然対数 \(\log_{e} a\) を表す。
※ \(u=x\) のときは \(u^{\prime}=1\) となり、\((e^x)^{\prime}=e^x~,~\)\((a^x)^{\prime}=a^x\log a\) のようになる。
積の形の指数関数は、積の導関数の公式より、
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
※ 前を微分して後ろはそのまま、前はそのままで後ろを微分して、「微分そのまま+そのまま微分」と覚える。
\(u\) が \(x\) の関数のとき、指数関数の導関数は、
\((e^u)^{\prime}=e^u \cdot u^{\prime}\)
\((a^u)^{\prime}=a^u\log a \cdot u^{\prime}\)
※ \(a\gt 0~,~a\neq 1\) で、\(\log a\) は自然対数 \(\log_{e} a\) を表す。
※ \(u=x\) のときは \(u^{\prime}=1\) となり、\((e^x)^{\prime}=e^x~,~\)\((a^x)^{\prime}=a^x\log a\) のようになる。
積の形の指数関数は、積の導関数の公式より、
\(\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
※ 前を微分して後ろはそのまま、前はそのままで後ろを微分して、「微分そのまま+そのまま微分」と覚える。
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詳しい解説｜指数関数の微分
微分法 18関数 \(y=e^{3x}~,~\)\(y=2^{-3x}~,~\)\(y=xe^x\) を微分する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=e^{3x}\) について、
\(u=3x\) とおくと、\(y=e^u\) となる。
\((e^u)^{\prime}=e^u \cdot u^{\prime}\) より、\(e^{3x}\) に中身の微分 \((3x)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{3x})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^{3x} \cdot (3x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^{3x} \cdot 3
\\[3pt]~~~&=&3e^{3x}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=3e^{3x}\) となる
関数 \(y=2^{-3x}\) について、
\(u=-3x\) とおくと、\(y=2^u\) となる。
\((a^u)^{\prime}=a^u\log a \cdot u^{\prime}\) より、\(2^{-3x}\log 2\) に中身の微分 \((-3x)^{\prime}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(2^{-3x})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2^{-3x}\log 2 \cdot (-3x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2^{-3x}\log 2 \cdot (-3)
\\[3pt]~~~&=&-3 \cdot 2^{-3x}\log 2\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=-3 \cdot 2^{-3x}\log 2\) となる
関数 \(y=xe^x\) について、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となり、
\((e^x)^{\prime}=e^x\) を用いて微分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x)^{\prime}e^x+x(e^x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&1 \cdot e^x+x \cdot e^x
\\[3pt]~~~&=&e^x+xe^x
\\[3pt]~~~&=&(x+1)e^x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime}=(x+1)e^x\) となる
