- 数学Ⅲ｜微分法「eの極限定義を用いた計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜eの極限定義を用いた計算
微分法 19☆\(\displaystyle\lim_{t \to 0}(1+t)^{\large \frac{1}{t}}=e\) を用いた \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to 0}(1-x)^{\large \frac{1}{x}}~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{x-1}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
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eの極限定義を用いた計算
解法のPoint
eの極限定義を用いた計算
Point：eの極限定義を用いた計算\(t \to 0\) のとき \((1+t)^{\large \frac{1}{t}}\) は一定の値に近づき、その極限値を \(e\) で表す。
\(\displaystyle\lim_{t \to 0}(1+t)^{\large \frac{1}{t}}=e\)
\(e\) は無理数で、その値は \(2.71828\cdots\) である。
\((1+t)^{\large \frac{1}{t}}\) の形をつくって極限値を求めるとき、
① かっこ内の \(1\) 以外の部分を \(t\) とおき、\(x\) の極限から \(t\) の極限を調べる。
② 指数を \(t\) で表し、\(\left\{(1+t)^{\large \frac{1}{t}}\right\}^{\,○}\) の形に変形する。
③ \((1+t)^{\large \frac{1}{t}}\) を \(e\) に置き換えて、極限値を求める。
※ \(x \to \infty\) のとき \(t \to +0\) や \(t \to -0\) となるが、\(\displaystyle\lim_{t \to 0}(1+t)^{\large \frac{1}{t}}=e\) より、どちらの場合も \(e\) に近づく。
\(\displaystyle\lim_{t \to 0}(1+t)^{\large \frac{1}{t}}=e\)
\(e\) は無理数で、その値は \(2.71828\cdots\) である。
\((1+t)^{\large \frac{1}{t}}\) の形をつくって極限値を求めるとき、
① かっこ内の \(1\) 以外の部分を \(t\) とおき、\(x\) の極限から \(t\) の極限を調べる。
② 指数を \(t\) で表し、\(\left\{(1+t)^{\large \frac{1}{t}}\right\}^{\,○}\) の形に変形する。
③ \((1+t)^{\large \frac{1}{t}}\) を \(e\) に置き換えて、極限値を求める。
※ \(x \to \infty\) のとき \(t \to +0\) や \(t \to -0\) となるが、\(\displaystyle\lim_{t \to 0}(1+t)^{\large \frac{1}{t}}=e\) より、どちらの場合も \(e\) に近づく。
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詳しい解説｜eの極限定義を用いた計算
微分法 19☆\(\displaystyle\lim_{t \to 0}(1+t)^{\large \frac{1}{t}}=e\) を用いた \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to 0}(1-x)^{\large \frac{1}{x}}~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{x-1}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
極限 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^x\) について、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=t\) とおくと、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\) であり、
\(x \to \infty\) のとき \(t \to +0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^x
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to +0}(1+t)^{\large \frac{1}{t}}
\\[5pt]~~~&=&e\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^x=e\) となる
極限 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(1-x)^{\large \frac{1}{x}}\) について、
\(-x=t\) とおくと、\(x=-t\) であり、
\(x \to 0\) のとき \(t \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{x \to 0}(1-x)^{\large \frac{1}{x}}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to 0}(1+t)^{\large -\frac{1}{t}}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to 0}\left\{(1+t)^{\large \frac{1}{t}}\right\}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&e^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,e\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\lim_{x \to 0}(1-x)^{\large \frac{1}{x}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,e\,}\) となる
極限 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\right)^x\) について、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}=t\) とおくと、\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,t\,}\) であり、
\(x \to \infty\) のとき \(t \to +0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\right)^x
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to +0}(1+t)^{\large \frac{3}{t}}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to +0}\left\{(1+t)^{\large \frac{1}{t}}\right\}^3
\\[5pt]~~~&=&e^3\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,}\right)^x=e^3\) となる
極限 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{x-1}\) について、
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=t\) とおくと、\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\) であり、
\(x \to \infty\) のとき \(t \to -0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{x \to \infty}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{x-1}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to -0}(1+t)^{\large -\frac{1}{t}-1}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to -0}(1+t)^{\large -\frac{1}{t}} \cdot (1+t)^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to -0}\left\{(1+t)^{\large \frac{1}{t}}\right\}^{-1} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+t\,}
\\[5pt]~~~&=&e^{-1} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,e\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{x-1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,e\,}\) となる
