eの極限定義を用いた計算

数研出版｜数学Ⅲ[708] p.102 問題

それぞれの袋には全部で \(2+(2n-2)=2n\) 個の玉が入っているので、

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\(1\) つの袋から白玉を取り出す確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2n\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\)

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\(1\) つの袋から赤玉を取り出す確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,2n-2\,}{\,2n\,}=\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,n\,}\)

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\(n\) 個の袋から玉を \(1\) 個ずつ取り出すことは、\(n\) 回の反復試行と考えられるので、

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白玉が \(2\) 個、赤玉が \(n-2\) 個となる確率 \(p_n\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~p_n&=&{}_n{\rm C}_2\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^2\left(\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,n\,}\right)^{n-2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2 \cdot 1\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,n\,}\right)^{n-2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,2n\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,n\,}\right)^{n-2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,n\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,n\,}\right)^{n-2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,n\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^{n-1}\end{eqnarray}\)

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極限 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}p_n\) について、

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\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}=t\) とおくと、\(n=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\) であり、

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\(n \to \infty\) のとき \(t \to -0\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{n \to \infty}p_n
\\[5pt]~~~&=&\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to -0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+t)^{\large -\frac{1}{t}-1}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to -0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+t)^{\large -\frac{1}{t}} \cdot (1+t)^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to -0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{(1+t)^{\large \frac{1}{t}}\right\}^{-1} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+t\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot e^{-1} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2e\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}p_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2e\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.99 章末問題B 10
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.99 章末問題B 10

\({\small (1)}~\)\(\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^{2n}=\left\{\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n\right\}^2\) と変形できるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{n \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^{2n}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{n \to \infty}\left\{\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&e^2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^{2n}=e^2\) となる
 
 
\({\small (2)}~\)\(2n=t\) とおくと、\(n=\displaystyle \frac{\,t\,}{\,2\,}\) であり、

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\(n \to \infty\) のとき \(t \to \infty\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{n \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}\right)^n
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\right)^{\large \frac{t}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to \infty}\left\{\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\right)^t\right\}^{\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&e^{\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,e\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}\right)^n=\sqrt{\,e\,}\) となる
 
 
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}=t\) とおくと、\(n=2t~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\) であり、

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\(n \to \infty\) のとき \(t \to \infty\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{n \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n\,}\right)^n
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\right)^{2t}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to \infty}\left\{\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\right)^t\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&e^2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n\,}\right)^n=e^2\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.97 練習問題B 7

\({\small (1)}~\)\(-x=t\) とおくと、\(x=-t\) であり、

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\(x \to 0\) のとき \(t \to 0\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{x \to 0}(1-x)^{\large \frac{1}{x}}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to 0}(1+t)^{\large -\frac{1}{t}}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to 0}\left\{(1+t)^{\large \frac{1}{t}}\right\}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&e^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,e\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle\lim_{x \to 0}(1-x)^{\large \frac{1}{x}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,e\,}\) となる
 
 
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}=t\) とおくと、\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,t\,}\) であり、

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\(x \to \infty\) のとき \(t \to +0\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}\right)^x
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to +0}(1+t)^{\large \frac{2}{t}}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{t \to +0}\left\{(1+t)^{\large \frac{1}{t}}\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&e^2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}\right)^x=e^2\) となる