- 数学Ⅲ｜微分法「導関数の定義を用いた極限の計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜導関数の定義を用いた極限の計算
微分法 20☆極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
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導関数の定義を用いた極限の計算
解法のPoint
導関数の定義を用いた極限の計算
Point：導関数の定義を用いた極限の計算導関数の定義を用いた極限の計算は、
① 極限の式から関数 \(f(x)\) を決める。
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}\) のとき、\(f(x)=e^x\)
② 導関数の定義の式になるように式変形する。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{x \to a}\displaystyle \frac{\,f(x)-f(a)\,}{\,x-a\,}\)
③ \(f^{\prime}(x)\) を求めて、極限値を求める。
\((e^x)^{\prime}=e^x~,~(\log x)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\)
※ そのまま代入すると \(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となるため、導関数の定義を利用する。
① 極限の式から関数 \(f(x)\) を決める。
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}\) のとき、\(f(x)=e^x\)
② 導関数の定義の式になるように式変形する。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{x \to a}\displaystyle \frac{\,f(x)-f(a)\,}{\,x-a\,}\)
③ \(f^{\prime}(x)\) を求めて、極限値を求める。
\((e^x)^{\prime}=e^x~,~(\log x)^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\)
※ そのまま代入すると \(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となるため、導関数の定義を利用する。
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詳しい解説｜導関数の定義を用いた極限の計算
微分法 20☆極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}\) について、
\(x \to 0\) のとき、分子 \(e^x-1\) は \(e^0-1=0\) 、分母 \(x\) は \(0\) に収束するので、\(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となる
ここで、\(f(x)=e^x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&e^0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(1=e^0\) と表して、導関数の定義の式になるように変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-e^0\,}{\,x-0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x)-f(0)\,}{\,x-0\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(0)\end{eqnarray}\)
\(f(x)=e^x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&e^x\end{eqnarray}\)
\(x=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(0)&=&e^0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}=1\) となる
極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}\) について、
\(x \to 1\) のとき、分子 \(\log x\) は \(\log 1=0\) 、分母 \(x-1\) は \(0\) に収束するので、\(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となる
ここで、\(f(x)=\log x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\log 1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(0=\log 1\) と表して、導関数の定義の式になるように変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x-\log 1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,f(x)-f(1)\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(1)\end{eqnarray}\)
\(f(x)=\log x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
\(x=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}=1\) となる
