このページは、「導関数の定義を用いた極限の計算」の練習問題アーカイブページとなります。
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導関数の定義を用いた極限の計算 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の極限を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}\)
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.103 演習問題B 3
\({\small (1)}~\)極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}\) について、
\(x \to 0\) のとき、分子 \(e^x-1\) は \(e^0-1=0\) 、分母 \(x\) は \(0\) に収束するので、\(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となる
ここで、\(f(x)=e^x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&e^0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(1=e^0\) と表して、導関数の定義の式になるように変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-e^0\,}{\,x-0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x)-f(0)\,}{\,x-0\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(0)\end{eqnarray}\)
\(f(x)=e^x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&e^x\end{eqnarray}\)
\(x=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(0)&=&e^0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}=1\) となる
\({\small (2)}~\)極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}\) について、
\(x \to 1\) のとき、分子 \(\log x\) は \(\log 1=0\) 、分母 \(x-1\) は \(0\) に収束するので、\(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となる
ここで、\(f(x)=\log x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\log 1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(0=\log 1\) と表して、導関数の定義の式になるように変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x-\log 1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,f(x)-f(1)\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(1)\end{eqnarray}\)
\(f(x)=\log x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
\(x=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\log x\,}{\,x-1\,}=1\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の極限を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\log(1+x)\,}{\,x\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\log(1+x)\,}{\,x\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.99 章末問題B 9
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.99 章末問題B 9
\({\small (1)}~\)極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\log(1+x)\,}{\,x\,}\) について、
\(x \to 0\) のとき、分子 \(\log(1+x)\) は \(\log 1=0\) 、分母 \(x\) は \(0\) に収束するので、\(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となる
ここで、\(f(x)=\log(1+x)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&\log(1+0)
\\[3pt]~~~&=&\log 1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(0=\log 1\) と表して、導関数の定義の式になるように変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\log(1+x)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\log(1+x)-\log 1\,}{\,x-0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x)-f(0)\,}{\,x-0\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(0)\end{eqnarray}\)
\(f(x)=\log(1+x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x\,}\end{eqnarray}\)
\(x=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(0)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\log(1+x)\,}{\,x\,}=1\) となる
\({\small (2)}~\)極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}\) について、
\(x \to 0\) のとき、分子 \(e^x-1\) は \(e^0-1=0\) 、分母 \(x\) は \(0\) に収束するので、\(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となる
ここで、\(f(x)=e^x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&e^0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(1=e^0\) と表して、導関数の定義の式になるように変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-e^0\,}{\,x-0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x)-f(0)\,}{\,x-0\,}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime}(0)\end{eqnarray}\)
\(f(x)=e^x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&e^x\end{eqnarray}\)
\(x=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(0)&=&e^0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,e^x-1\,}{\,x\,}=1\) となる
