- 数学Ⅲ｜微分法「第2次導関数と第3次導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜第2次導関数と第3次導関数
微分法 21関数 \(y=x^5~,~\)\(y=\sin x~,~\)\(y=e^x~,~\)\(y=\log x\) の第2次導関数と第3次導関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
第2次導関数と第3次導関数
Point：第2次導関数と第3次導関数
\(y^{\prime\prime}~,~f^{\prime\prime}(x)~,~\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}~,~\displaystyle \frac{\,d^2\,}{\,dx^2\,}f(x)\)
第2次導関数 \(f^{\prime\prime}(x)\) をさらに微分して得られる導関数を第3次導関数といい、
\(y^{\prime\prime\prime}~,~f^{\prime\prime\prime}(x)~,~\displaystyle \frac{\,d^3y\,}{\,dx^3\,}~,~\displaystyle \frac{\,d^3\,}{\,dx^3\,}f(x)\)
関数 \(y=f(x)\) の導関数 \(f^{\prime}(x)\) をさらに微分して得られる導関数を第2次導関数といい、
\(y^{\prime\prime}~,~f^{\prime\prime}(x)~,~\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}~,~\displaystyle \frac{\,d^2\,}{\,dx^2\,}f(x)\)
第2次導関数 \(f^{\prime\prime}(x)\) をさらに微分して得られる導関数を第3次導関数といい、
\(y^{\prime\prime\prime}~,~f^{\prime\prime\prime}(x)~,~\displaystyle \frac{\,d^3y\,}{\,dx^3\,}~,~\displaystyle \frac{\,d^3\,}{\,dx^3\,}f(x)\)
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詳しい解説｜第2次導関数と第3次導関数
微分法 21関数 \(y=x^5~,~\)\(y=\sin x~,~\)\(y=e^x~,~\)\(y=\log x\) の第2次導関数と第3次導関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=x^5\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x^5)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&5x^4\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime}\) を微分して、第2次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(5x^4)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&5 \cdot 4x^3
\\[3pt]~~~&=&20x^3\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime\prime}\) を微分して、第3次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime\prime}&=&(20x^3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&20 \cdot 3x^2
\\[3pt]~~~&=&60x^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime\prime}=20x^3~,~y^{\prime\prime\prime}=60x^2\) となる
関数 \(y=\sin x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\cos x\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime}\) を微分して、第2次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-\sin x\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime\prime}\) を微分して、第3次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime\prime}&=&(-\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-\cos x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime\prime}=-\sin x~,~y^{\prime\prime\prime}=-\cos x\) となる
関数 \(y=e^x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^x\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime}\) を微分して、第2次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(e^x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^x\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime\prime}\) を微分して、第3次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime\prime}&=&(e^x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime\prime}=e^x~,~y^{\prime\prime\prime}=e^x\) となる
関数 \(y=\log x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\log x)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime}\) を微分して、第2次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&(x^{-1})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-1 \cdot x^{-2}
\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime\prime}\) を微分して、第3次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime\prime}&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&(-x^{-2})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-(-2) \cdot x^{-3}
\\[3pt]~~~&=&2x^{-3}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{\prime\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y^{\prime\prime\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}\) となる
