- 数学Ⅲ｜微分法「第n次導関数と規則性」の基本例題解説ページです。
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問題｜第n次導関数と規則性
微分法 22関数 \(y=x^n~(n\) は自然数\()~,~\)\(y=e^{3x}~,~\)\(y=\log x~,~\)\(y=\sin x+\cos x\) の第 \(n\) 次導関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
第n次導関数と規則性
Point：第n次導関数と規則性
\(y^{(n)}~,~f^{(n)}(x)~,~\displaystyle \frac{\,d^ny\,}{\,dx^n\,}~,~\displaystyle \frac{\,d^n\,}{\,dx^n\,}f(x)\)
第 \(n\) 次導関数は、
① 第3次導関数まで順に求める。
\(y^{\prime}=3e^{3x}~,~y^{\prime\prime}=3^2e^{3x}~,~y^{\prime\prime\prime}=3^3e^{3x}\)
② 係数や指数などの規則性から、第 \(n\) 次導関数を求める。
\(y^{(n)}=3^ne^{3x}\)
関数 \(y=f(x)\) を \(n\) 回微分して得られる関数を第 \(n\) 次導関数といい、
\(y^{(n)}~,~f^{(n)}(x)~,~\displaystyle \frac{\,d^ny\,}{\,dx^n\,}~,~\displaystyle \frac{\,d^n\,}{\,dx^n\,}f(x)\)
第 \(n\) 次導関数は、
① 第3次導関数まで順に求める。
\(y^{\prime}=3e^{3x}~,~y^{\prime\prime}=3^2e^{3x}~,~y^{\prime\prime\prime}=3^3e^{3x}\)
② 係数や指数などの規則性から、第 \(n\) 次導関数を求める。
\(y^{(n)}=3^ne^{3x}\)
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詳しい解説｜第n次導関数と規則性
微分法 22関数 \(y=x^n~(n\) は自然数\()~,~\)\(y=e^{3x}~,~\)\(y=\log x~,~\)\(y=\sin x+\cos x\) の第 \(n\) 次導関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
関数 \(y=x^n\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x^n)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&nx^{n-1}\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime}\) を微分して、第2次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(nx^{n-1})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&n(n-1)x^{n-2}\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime\prime}\) を微分して、第3次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime\prime}&=&\{n(n-1)x^{n-2}\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&n(n-1)(n-2)x^{n-3}\end{eqnarray}\)
微分するごとに \(x\) の指数が \(1\) ずつ減り、その指数が係数に掛けられるので、\(n\) 回微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{(n)}&=&n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 \cdot x^{n-n}
\\[3pt]~~~&=&n! \cdot x^0
\\[3pt]~~~&=&n!\end{eqnarray}\)
したがって、\(y^{(n)}=n!\) となる
関数 \(y=e^{3x}\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{3x})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^{3x} \cdot (3x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3e^{3x}\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime}\) を微分して、第2次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(3e^{3x})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3e^{3x} \cdot (3x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3 \cdot 3e^{3x}
\\[3pt]~~~&=&3^2e^{3x}\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime\prime}\) を微分して、第3次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime\prime}&=&(3^2e^{3x})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3^2e^{3x} \cdot (3x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3^2 \cdot 3e^{3x}
\\[3pt]~~~&=&3^3e^{3x}\end{eqnarray}\)
微分するごとに係数に \(3\) が掛けられるので、\(n\) 回微分すると、
\(y^{(n)}=3^ne^{3x}\)
したがって、\(y^{(n)}=3^ne^{3x}\) となる
関数 \(y=\log x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\log x)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&x^{-1}\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime}\) を微分して、第2次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(x^{-1})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&(-1) \cdot x^{-2}\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime\prime}\) を微分して、第3次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime\prime}&=&\{(-1) \cdot x^{-2}\}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&(-1) \cdot (-2) \cdot x^{-3}\end{eqnarray}\)
微分するごとに \(x\) の指数が \(1\) ずつ減り、その指数が係数に掛けられるので、\(n\) 回微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{(n)}&=&(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdots \{-(n-1)\} \cdot x^{-n}
\\[3pt]~~~&=&(-1)^{n-1} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot x^{-n}
\\[3pt]~~~&=&(-1)^{n-1}(n-1)! \cdot x^{-n}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-1)^{n-1}(n-1)!\,}{\,x^n\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(-1)^{n-1} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot x^{-n}
\\[3pt]~~~&=&(-1)^{n-1}(n-1)! \cdot x^{-n}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-1)^{n-1}(n-1)!\,}{\,x^n\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(y^{(n)}=\displaystyle \frac{\,(-1)^{n-1}(n-1)!\,}{\,x^n\,}\) となる
関数 \(y=\sin x+\cos x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\sin x+\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\cos x-\sin x\end{eqnarray}\)
ここで \(\cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~,~\)\(-\sin x=\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{y^{\prime}}&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)+\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime}=\cos x-\sin x\) を微分して、第2次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(\cos x-\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-\sin x-\cos x\end{eqnarray}\)
ここで \(-\sin x=\sin(x+\pi)~,~\)\(-\cos x=\cos(x+\pi)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{y^{\prime\prime}}&=&\sin(x+\pi)+\cos(x+\pi)\end{eqnarray}\)
\(y^{\prime\prime}=-\sin x-\cos x\) を微分して、第3次導関数を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime\prime}&=&(-\sin x-\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-\cos x+\sin x\end{eqnarray}\)
ここで \(-\cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)~,~\)\(\sin x=\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{y^{\prime\prime\prime}}&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)+\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
微分するごとに角に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) ずつ加えられるので、\(n\) 回微分すると、
\(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}\pi\right)+\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}\pi\right)\)
したがって、
\(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}\pi\right)+\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}\pi\right)\)
となる
