- 数学Ⅲ｜微分法「第2次導関数と等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜第2次導関数と等式の証明
微分法 23関数 \(y=e^x\sin x\) は等式 \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\) を満たすことを示す方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
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第2次導関数と等式の証明
解法のPoint
第2次導関数と等式の証明
Point：第2次導関数と等式の証明関数 \(y=e^x\sin x\) が等式 \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\) を満たすことを示すとき、
① 積の導関数の公式より、第1次導関数 \(y^{\prime}\) と第2次導関数 \(y^{\prime\prime}\) をそれぞれ求める。
\(y^{\prime}=e^x(\sin x+\cos x)~,~y^{\prime\prime}=2e^x\cos x\)
② \(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入して、\(0\) になることを示す。
\(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\)
① 積の導関数の公式より、第1次導関数 \(y^{\prime}\) と第2次導関数 \(y^{\prime\prime}\) をそれぞれ求める。
\(y^{\prime}=e^x(\sin x+\cos x)~,~y^{\prime\prime}=2e^x\cos x\)
② \(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入して、\(0\) になることを示す。
\(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\)
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詳しい解説｜第2次導関数と等式の証明
微分法 23関数 \(y=e^x\sin x\) は等式 \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\) を満たすことを示す方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
[証明] 関数 \(y=e^x\sin x\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^x)^{\prime}\sin x+e^x(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^x\sin x+e^x\cos x
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x)\end{eqnarray}\)
次に、\(y^{\prime}=e^x(\sin x+\cos x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(e^x)^{\prime}(\sin x+\cos x)+e^x(\sin x+\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^x\left\{\,(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^x\left\{\,(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x-2e^x(\sin x+\cos x)+2e^x\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x-\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x-2e^x(\sin x+\cos x)+2e^x\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x-\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、関数 \(y=e^x\sin x\) は等式 \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
