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第2次導関数と等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(y=e^{-x}\cos x\) は、次の等式を満たすことを示せ。
\(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\)
\(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\)
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.95 練習19
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[証明] 関数 \(y=e^{-x}\cos x\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{-x})^{\prime}\cos x+e^{-x}(\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}(\sin x+\cos x)\end{eqnarray}\)
次に、\(y^{\prime}=-e^{-x}(\sin x+\cos x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
したがって、関数 \(y=e^{-x}\cos x\) は等式 \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{-x})^{\prime}\cos x+e^{-x}(\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}(\sin x+\cos x)\end{eqnarray}\)
次に、\(y^{\prime}=-e^{-x}(\sin x+\cos x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(-e^{-x})^{\prime}(\sin x+\cos x)+(-e^{-x})(\sin x+\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x+\cos x)-e^{-x}(\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}\left\{\,(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x+\cos x-\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}\sin x\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x+\cos x)-e^{-x}(\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}\left\{\,(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x+\cos x-\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}\sin x\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}\sin x-2e^{-x}(\sin x+\cos x)+2e^{-x}\cos x
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}(\sin x-\sin x-\cos x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x} \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}\sin x-2e^{-x}(\sin x+\cos x)+2e^{-x}\cos x
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}(\sin x-\sin x-\cos x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x} \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、関数 \(y=e^{-x}\cos x\) は等式 \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02関数 \(y=e^{-2x}\sin 2x\) は、次の等式を満たすことを示せ。
\(y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+8y=0\)
\(y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+8y=0\)
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.102 問題 9
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[証明] 関数 \(y=e^{-2x}\sin 2x\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{-2x})^{\prime}\sin 2x+e^{-2x}(\sin 2x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-2x}\sin 2x+2e^{-2x}\cos 2x
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)\end{eqnarray}\)
次に、\(y^{\prime}=-2e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
したがって、関数 \(y=e^{-2x}\sin 2x\) は等式 \(y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+8y=0\) を満たす [終]
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{-2x})^{\prime}\sin 2x+e^{-2x}(\sin 2x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-2x}\sin 2x+2e^{-2x}\cos 2x
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)\end{eqnarray}\)
次に、\(y^{\prime}=-2e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(-2e^{-2x})^{\prime}(\sin 2x-\cos 2x)+(-2e^{-2x})(\sin 2x-\cos 2x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&4e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)-2e^{-2x}(2\cos 2x+2\sin 2x)
\\[3pt]~~~&=&4e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)-4e^{-2x}(\cos 2x+\sin 2x)
\\[3pt]~~~&=&4e^{-2x}\left\{\,(\sin 2x-\cos 2x)-(\cos 2x+\sin 2x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&4e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x-\cos 2x-\sin 2x)
\\[3pt]~~~&=&-8e^{-2x}\cos 2x\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&4e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)-2e^{-2x}(2\cos 2x+2\sin 2x)
\\[3pt]~~~&=&4e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)-4e^{-2x}(\cos 2x+\sin 2x)
\\[3pt]~~~&=&4e^{-2x}\left\{\,(\sin 2x-\cos 2x)-(\cos 2x+\sin 2x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&4e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x-\cos 2x-\sin 2x)
\\[3pt]~~~&=&-8e^{-2x}\cos 2x\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+8y
\\[3pt]~~~&=&-8e^{-2x}\cos 2x-8e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)+8e^{-2x}\sin 2x
\\[3pt]~~~&=&8e^{-2x}(-\cos 2x-\sin 2x+\cos 2x+\sin 2x)
\\[3pt]~~~&=&8e^{-2x} \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&-8e^{-2x}\cos 2x-8e^{-2x}(\sin 2x-\cos 2x)+8e^{-2x}\sin 2x
\\[3pt]~~~&=&8e^{-2x}(-\cos 2x-\sin 2x+\cos 2x+\sin 2x)
\\[3pt]~~~&=&8e^{-2x} \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、関数 \(y=e^{-2x}\sin 2x\) は等式 \(y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+8y=0\) を満たす [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03関数 \(y=e^x(\sin x+\cos x)\) について、次の等式が成り立つことを示せ。
\(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\)
\(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\)
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.97 問題 11
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.98 章末問題A 5
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[証明] 関数 \(y=e^x(\sin x+\cos x)\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
次に、\(y^{\prime}=2e^x\cos x\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(2e^x)^{\prime}\cos x+2e^x(\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x-2e^x\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x)\end{eqnarray}\)
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
したがって、関数 \(y=e^x(\sin x+\cos x)\) は等式 \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^x)^{\prime}(\sin x+\cos x)+e^x(\sin x+\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^x\left\{\,(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^x\left\{\,(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^x(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、\(y^{\prime}=2e^x\cos x\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(2e^x)^{\prime}\cos x+2e^x(\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2e^x\cos x-2e^x\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x)\end{eqnarray}\)
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x)-4e^x\cos x+2e^x(\sin x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x-2\cos x+\sin x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x)-4e^x\cos x+2e^x(\sin x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x(\cos x-\sin x-2\cos x+\sin x+\cos x)
\\[3pt]~~~&=&2e^x \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、関数 \(y=e^x(\sin x+\cos x)\) は等式 \(y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04関数 \(f(x)~,~g(x)\) の第 \(2\) 次導関数が存在するとき、次のことを示せ。
\(\displaystyle \frac{\,d^2\,}{\,dx^2\,}\{f(x)g(x)\}=f^{\prime\prime}(x)g(x)+2f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.95 章末問題A 3
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[証明] 関数 \(f(x)g(x)\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{f(x)g(x)\}&=&f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
次に、\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{f(x)g(x)\}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
したがって、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{f(x)g(x)\}&=&f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
次に、\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{f(x)g(x)\}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d^2\,}{\,dx^2\,}\{f(x)g(x)\}&=&\{f^{\prime}(x)g(x)\}^{\prime}+\{f(x)g^{\prime}(x)\}^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\{f^{\prime\prime}(x)g(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)\}+\{f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime\prime}(x)g(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime\prime}(x)g(x)+2f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\{f^{\prime\prime}(x)g(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)\}+\{f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\}
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime\prime}(x)g(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)
\\[5pt]~~~&=&f^{\prime\prime}(x)g(x)+2f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,d^2\,}{\,dx^2\,}\{f(x)g(x)\}=f^{\prime\prime}(x)g(x)+2f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+f(x)g^{\prime\prime}(x)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
が成り立つ [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05関数 \(y=e^{-x}\sin x\) は、\(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\) を満たすことを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.92 問18
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[証明] 関数 \(y=e^{-x}\sin x\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{-x})^{\prime}\sin x+e^{-x}(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}(\sin x-\cos x)\end{eqnarray}\)
次に、\(y^{\prime}=-e^{-x}(\sin x-\cos x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
したがって、関数 \(y=e^{-x}\sin x\) は等式 \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{-x})^{\prime}\sin x+e^{-x}(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}(\sin x-\cos x)\end{eqnarray}\)
次に、\(y^{\prime}=-e^{-x}(\sin x-\cos x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(-e^{-x})^{\prime}(\sin x-\cos x)+(-e^{-x})(\sin x-\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x-\cos x)-e^{-x}(\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}\left\{\,(\sin x-\cos x)-(\cos x+\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x-\cos x-\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-x}\cos x\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x-\cos x)-e^{-x}(\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}\left\{\,(\sin x-\cos x)-(\cos x+\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x-\cos x-\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-x}\cos x\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-x}\cos x-2e^{-x}(\sin x-\cos x)+2e^{-x}\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}(-\cos x-\sin x+\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x} \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-x}\cos x-2e^{-x}(\sin x-\cos x)+2e^{-x}\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}(-\cos x-\sin x+\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x} \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、関数 \(y=e^{-x}\sin x\) は等式 \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(x\) の関数 \(u~,~v\) の第 \(2\) 次導関数が存在するとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\((uv)^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\)
\((uv)^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.93 問題 13
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[証明] 関数 \(uv\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(uv)^{\prime}&=&u^{\prime}v+uv^{\prime}\end{eqnarray}\)
次に、\((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
したがって、等式 \((uv)^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\) が成り立つ [終]
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(uv)^{\prime}&=&u^{\prime}v+uv^{\prime}\end{eqnarray}\)
次に、\((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~(uv)^{\prime\prime}&=&(u^{\prime}v)^{\prime}+(uv^{\prime})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&(u^{\prime\prime}v+u^{\prime}v^{\prime})+(u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime})
\\[3pt]~~~&=&u^{\prime\prime}v+u^{\prime}v^{\prime}+u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}
\\[3pt]~~~&=&u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(u^{\prime\prime}v+u^{\prime}v^{\prime})+(u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime})
\\[3pt]~~~&=&u^{\prime\prime}v+u^{\prime}v^{\prime}+u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}
\\[3pt]~~~&=&u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、等式 \((uv)^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07関数 \(y=x\sqrt{\,1+x^2\,}\) は、次の等式を満たすことを示せ。
\((1+x^2)y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=4y\)
\((1+x^2)y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=4y\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.96 練習問題A 6
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[証明] 関数 \(y=x\sqrt{\,1+x^2\,}\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となり、
\(\sqrt{\,1+x^2\,}=(1+x^2)^{\large \frac{1}{2}}\) として、合成関数の導関数の公式を用いるので、
次に、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\) をさらに微分すると、
商の導関数の公式より、
\(y^{\prime}\) の計算と同様に、\((\sqrt{\,1+x^2\,})^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\) となるので、
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
したがって、関数 \(y=x\sqrt{\,1+x^2\,}\) は等式 \((1+x^2)y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=4y\) を満たす [終]
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となり、
\(\sqrt{\,1+x^2\,}=(1+x^2)^{\large \frac{1}{2}}\) として、合成関数の導関数の公式を用いるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x)^{\prime}\sqrt{\,1+x^2\,}+x\left\{\,(1+x^2)^{\large \frac{1}{2}}\,\right\}^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \sqrt{\,1+x^2\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}} \cdot (1+x^2)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}} \cdot 2x
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+x^2(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1+x^2)+x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \sqrt{\,1+x^2\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}} \cdot (1+x^2)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}} \cdot 2x
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+x^2(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1+x^2)+x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\) をさらに微分すると、
商の導関数の公式より、
\(y^{\prime}\) の計算と同様に、\((\sqrt{\,1+x^2\,})^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&\displaystyle \frac{\,(1+2x^2)^{\prime}\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2)(\sqrt{\,1+x^2\,})^{\prime}\,}{\,(\sqrt{\,1+x^2\,})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\,}{\,1+x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left\{\,4x\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\,\right\} \cdot \sqrt{\,1+x^2\,}\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(1+x^2)-x(1+2x^2)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x+4x^3-x-2x^3\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x^3+3x\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\,}{\,1+x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left\{\,4x\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\,\right\} \cdot \sqrt{\,1+x^2\,}\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(1+x^2)-x(1+2x^2)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x+4x^3-x-2x^3\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x^3+3x\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x^2)y^{\prime\prime}+xy^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&(1+x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}+\displaystyle \frac{\,x(1+2x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3+1+2x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(4x^2+4)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(1+x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(\sqrt{\,1+x^2\,})^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&4x\sqrt{\,1+x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&4y\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&(1+x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}+\displaystyle \frac{\,x(1+2x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3+1+2x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(4x^2+4)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(1+x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(\sqrt{\,1+x^2\,})^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&4x\sqrt{\,1+x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&4y\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、関数 \(y=x\sqrt{\,1+x^2\,}\) は等式 \((1+x^2)y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=4y\) を満たす [終]
