- 数学Ⅲ｜微分法「第n次導関数と数学的帰納法」の基本例題解説ページです。
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問題｜第n次導関数と数学的帰納法
微分法 24☆関数 \(y=\sin x\) の第 \(n\) 次導関数が \(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,2\,}\right)\) であることを数学的帰納法を用いて証明する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
第n次導関数と数学的帰納法
Point：第n次導関数と数学的帰納法
\(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
① \(n=1\) のとき、三角関数の公式 \(\cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) より、等式が成り立つことを示す。
\(y^{\prime}=\cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\)
② \(n=k\) のとき、等式が成り立つと仮定する。
\(y^{(k)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
③ \({\small [\,2\,]}\) をさらに微分して、\(n=k+1\) のときも成り立つことを示す。
④ 数学的帰納法より、すべての自然数 \(n\) について、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つ。
関数 \(y=\sin x\) の第 \(n\) 次導関数を数学的帰納法で証明するとき、
\(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
① \(n=1\) のとき、三角関数の公式 \(\cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) より、等式が成り立つことを示す。
\(y^{\prime}=\cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\)
② \(n=k\) のとき、等式が成り立つと仮定する。
\(y^{(k)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
③ \({\small [\,2\,]}\) をさらに微分して、\(n=k+1\) のときも成り立つことを示す。
\(y^{(k+1)}=\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)=\sin\left\{x+\displaystyle \frac{\,(k+1)\pi\,}{\,2\,}\right\}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
④ 数学的帰納法より、すべての自然数 \(n\) について、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つ。
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詳しい解説｜第n次導関数と数学的帰納法
微分法 24☆関数 \(y=\sin x\) の第 \(n\) 次導関数が \(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,2\,}\right)\) であることを数学的帰納法を用いて証明する方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(y^{(n)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
関数 \(y=\sin x\) を微分し、三角関数の公式 \(\cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&\cos x
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \({\small [\,1\,]}\) が成り立つと仮定すると、
\(y^{(k)}=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のとき、\({\small [\,2\,]}\) をさらに微分すると、
合成関数の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{(k+1)}&=&\left\{\,y^{(k)}\,\right\}^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\,\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)\,\right\}^{\prime} \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right) \cdot \left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right) \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left\{\,\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)\,\right\}^{\prime} \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right) \cdot \left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right) \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&\cos\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
三角関数の公式 \(\cos\theta=\sin\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) で、\(\theta=x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{y^{(k+1)}}&=&\sin\left\{\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right\}
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi+\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left\{x+\displaystyle \frac{\,(k+1)\pi\,}{\,2\,}\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,k\pi+\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left\{x+\displaystyle \frac{\,(k+1)\pi\,}{\,2\,}\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これは、\(n=k+1\) のときの \({\small [\,1\,]}\) の右辺となるので、\({\small [\,1\,]}\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
したがって、\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ [終]
