- 数学Ⅲ｜微分法「x,yの方程式の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜x,yの方程式の導関数
微分法 25方程式 \(y^2=4x~,~\)\(x^2+y^2=4~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) について、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
x,yの方程式の導関数
Point：x,yの方程式の導関数\(x~,~y\) の方程式で定められる \(x\) の関数 \(y\) について、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を求めるとき、
① 両辺を \(x\) で微分する。このとき、\(y\) を含む項を微分するときは合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつける。
\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y^2=2y \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\)
② \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\) と式変形する。
\(2y \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=4\) より、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,y\,}\)
※ \(y\) を含む式で割るので、\(y \neq 0\) のときに限る。
① 両辺を \(x\) で微分する。このとき、\(y\) を含む項を微分するときは合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつける。
\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y^2=2y \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\)
② \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\) と式変形する。
\(2y \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=4\) より、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,y\,}\)
※ \(y\) を含む式で割るので、\(y \neq 0\) のときに限る。
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詳しい解説｜x,yの方程式の導関数
微分法 25方程式 \(y^2=4x~,~\)\(x^2+y^2=4~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) について、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜微分法
方程式 \(y^2=4x\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y^2&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}(4x)
\\[5pt]~~~2y \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&4\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺を \(2y\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,2y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,y\,}\) となる
方程式 \(x^2+y^2=4\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}x^2+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y^2&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}4
\\[5pt]~~~2x+2y \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~2y \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-2x\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺を \(2y\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,2y\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\) となる
方程式 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}\right)+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,9\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,9\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,9\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺に \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2y\,}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,9\,}{\,2y\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,9x\,}{\,4y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,9x\,}{\,4y\,}\) となる
方程式 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}\right)-\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,25\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,25\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,25\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺に \(-\displaystyle \frac{\,25\,}{\,2y\,}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,8\,} \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,25\,}{\,2y\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25x\,}{\,16y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,25x\,}{\,16y\,}\) となる
