このページは、「x,yの方程式の導関数」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
x,yの方程式の導関数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x^{\large \frac{2}{3}}+y^{\large \frac{2}{3}}=1\) であるとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^{\large \frac{1}{3}}\) であることを示せ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.102 問題 10
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.99 章末問題B 14
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.99 章末問題B 13
[証明]
方程式 \(x^{\large \frac{2}{3}}+y^{\large \frac{2}{3}}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^{\large \frac{2}{3}}\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}x^{\large \frac{2}{3}}+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y^{\large \frac{2}{3}}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\large \frac{1}{3}}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\large \frac{1}{3}} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\large \frac{1}{3}} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\large \frac{1}{3}}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺を \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\large \frac{1}{3}}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,x^{-\large \frac{1}{3}}\,}{\,y^{-\large \frac{1}{3}}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,y^{\large \frac{1}{3}}\,}{\,x^{\large \frac{1}{3}}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^{\large \frac{1}{3}}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^{\large \frac{1}{3}}\) となる
[終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(a~,~b\) は正の定数とする。次のことを示せ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.98 章末問題A 7
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.98 章末問題A 6
\({\small (1)}~\)[証明]
方程式 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}\right)+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺に \(\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\) となる
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
方程式 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(y^2\) は合成関数の微分と考えて \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) をつけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}\right)-\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,b^2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,}\end{eqnarray}\)
\(y \neq 0\) のとき、両辺に \(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,a^2\,} \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,2y\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}\) となる
[終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03方程式 \(xy-2x+y=0\) で定められる \(x\) の関数 \(y\) の導関数は
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,x+1\,}\)
となることを示せ。
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,x+1\,}\)
となることを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.96 練習問題A 4
[証明]
方程式 \(xy-2x+y=0\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(xy\) は積の導関数の公式を使い、\(y\) を微分すると \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}(xy)-\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}(2x)+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}0
\\[5pt]~~~1 \cdot y+x \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}-2+\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~x \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}+\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-y+2
\\[5pt]~~~(x+1) \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-(y-2)\end{eqnarray}\)
\(x \neq -1\) のとき、両辺を \(x+1\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,x+1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x \neq -1\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,x+1\,}\) となる
[終]
