- 数学Ⅲ｜微分法「媒介変数表示された関数の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜媒介変数表示された関数の導関数
微分法 26\(t\) を媒介変数として、\(x=2\cos t~,~\)\(y=3\sin t\) で表される関数の導関数 \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を \(t\) で表す方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
解法のPoint
媒介変数表示された関数の導関数
Point：媒介変数表示された関数の導関数
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}=\displaystyle \frac{\,g^{\prime}(t)\,}{\,f^{\prime}(t)\,}\)
① \(x~,~y\) をそれぞれ \(t\) で微分して、\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}~,~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}=-2\sin t~,~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}=3\cos t\)
② \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\) を \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) で割って、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を \(t\) で表す。
媒介変数 \(t\) を用いて \(x=f(t)~,~y=g(t)\) と表された関数の導関数は、
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}=\displaystyle \frac{\,g^{\prime}(t)\,}{\,f^{\prime}(t)\,}\)
① \(x~,~y\) をそれぞれ \(t\) で微分して、\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}~,~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}=-2\sin t~,~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}=3\cos t\)
② \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\) を \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) で割って、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を \(t\) で表す。
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詳しい解説｜媒介変数表示された関数の導関数
微分法 26\(t\) を媒介変数として、\(x=2\cos t~,~\)\(y=3\sin t\) で表される関数の導関数 \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を \(t\) で表す方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
\(x=2\cos t\) を \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}&=&(2\cos t)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot (-\sin t)
\\[3pt]~~~&=&-2\sin t\end{eqnarray}\)
また、\(y=3\sin t\) を \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}&=&(3\sin t)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&3\cos t\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\) を \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\cos t\,}{\,-2\sin t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\cos t\,}{\,2\sin t\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,3\cos t\,}{\,2\sin t\,}\) となる
