- 数学Ⅲ｜微分法「媒介変数表示された関数の第2次導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜媒介変数表示された関数の第2次導関数
微分法 27☆\(t\) を媒介変数として、\(x=2\cos t~,~\)\(y=3\sin t\) で表される関数の第2次導関数 \(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}\) を \(t\) で表す方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
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媒介変数表示された関数の第2次導関数
解法のPoint
媒介変数表示された関数の第2次導関数
Point：媒介変数表示された関数の第2次導関数媒介変数 \(t\) を用いて表された関数の第2次導関数は、
\(\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\end{eqnarray}\)
① \(x~,~y\) をそれぞれ \(t\) で微分して、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を \(t\) で表す。
\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}=-2\sin t~,~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}=3\cos t\) より、
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,3\cos t\,}{\,2\sin t\,}\)
② 商の導関数の公式を用いて、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を \(t\) で微分する。
\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sin^2 t\,}\)
③ \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) の逆数から \(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\) を求め、②で求めた式にかけて、\(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}\) を \(t\) で表す。
\(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sin t\,}\)
\(\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\end{eqnarray}\)
① \(x~,~y\) をそれぞれ \(t\) で微分して、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を \(t\) で表す。
\(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}=-2\sin t~,~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}=3\cos t\) より、
\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,3\cos t\,}{\,2\sin t\,}\)
② 商の導関数の公式を用いて、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を \(t\) で微分する。
\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sin^2 t\,}\)
③ \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) の逆数から \(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\) を求め、②で求めた式にかけて、\(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}\) を \(t\) で表す。
\(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sin t\,}\)
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詳しい解説｜媒介変数表示された関数の第2次導関数
微分法 27☆\(t\) を媒介変数として、\(x=2\cos t~,~\)\(y=3\sin t\) で表される関数の第2次導関数 \(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}\) を \(t\) で表す方法は？
高校数学Ⅲ｜微分法
\(x=2\cos t\) を \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}&=&(2\cos t)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot (-\sin t)
\\[3pt]~~~&=&-2\sin t\end{eqnarray}\)
また、\(y=3\sin t\) を \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}&=&(3\sin t)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&3\cos t\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\) を \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\cos t\,}{\,-2\sin t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\cos t\,}{\,2\sin t\,}\end{eqnarray}\)
次に、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を商の導関数の公式を用いて \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)&=&\left(-\displaystyle \frac{\,3\cos t\,}{\,2\sin t\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,\cos t\,}{\,\sin t\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(\cos t)^{\prime}\sin t-\cos t\,(\sin t)^{\prime}\,}{\,\sin^2 t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(-\sin t) \cdot \sin t-\cos t \cdot \cos t\,}{\,\sin^2 t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,-(\sin^2 t+\cos^2 t)\,}{\,\sin^2 t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,-1\,}{\,\sin^2 t\,}\hspace{30pt}(\,∵~\sin^2 t+\cos^2 t=1\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sin^2 t\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,\cos t\,}{\,\sin t\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(\cos t)^{\prime}\sin t-\cos t\,(\sin t)^{\prime}\,}{\,\sin^2 t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(-\sin t) \cdot \sin t-\cos t \cdot \cos t\,}{\,\sin^2 t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,-(\sin^2 t+\cos^2 t)\,}{\,\sin^2 t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,-1\,}{\,\sin^2 t\,}\hspace{30pt}(\,∵~\sin^2 t+\cos^2 t=1\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sin^2 t\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、\(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\) は \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) の逆数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,-2\sin t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sin t\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sin t\,}\) より、\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)\) に \(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sin^2 t\,} \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sin t\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\sin^3 t\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\sin^3 t\,}\) となる
