このページは、「媒介変数表示された関数の第2次導関数」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
媒介変数表示された関数の第2次導関数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x=t-\sin t~,~\)\(y=1-\cos t\) であるとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}\) をそれぞれ \(t\) の関数として表せ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.103 演習問題B 5
\(x=t-\sin t\) を \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}&=&(t-\sin t)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&1-\cos t\end{eqnarray}\)
また、\(y=1-\cos t\) を \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}&=&(1-\cos t)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&0-(-\sin t)
\\[3pt]~~~&=&\sin t\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\) を \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin t\,}{\,1-\cos t\,}\end{eqnarray}\)
次に、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を商の導関数の公式を用いて \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)&=&\left(\displaystyle \frac{\,\sin t\,}{\,1-\cos t\,}\right)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sin t)^{\prime}(1-\cos t)-\sin t\,(1-\cos t)^{\prime}\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos t \cdot (1-\cos t)-\sin t \cdot \sin t\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos t-\cos^2 t-\sin^2 t\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos t-(\sin^2 t+\cos^2 t)\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos t-1\,}{\,(1-\cos t)^2\,}\hspace{30pt}(\,∵~\sin^2 t+\cos^2 t=1\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-(1-\cos t)\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos t\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sin t)^{\prime}(1-\cos t)-\sin t\,(1-\cos t)^{\prime}\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos t \cdot (1-\cos t)-\sin t \cdot \sin t\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos t-\cos^2 t-\sin^2 t\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos t-(\sin^2 t+\cos^2 t)\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos t-1\,}{\,(1-\cos t)^2\,}\hspace{30pt}(\,∵~\sin^2 t+\cos^2 t=1\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-(1-\cos t)\,}{\,(1-\cos t)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos t\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、\(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\) は \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) の逆数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos t\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos t\,}\) より、\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)\) に \(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos t\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(1-\cos t)^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,\sin t\,}{\,1-\cos t\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(1-\cos t)^2\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(x=e^t~,~\)\(y=e^{-t}\) であるとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}\) を \(t\) の関数として表せ。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.99 章末問題B 13
\(x=e^t\) を \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}&=&(e^t)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&e^t\end{eqnarray}\)
また、\(y=e^{-t}\) を \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}&=&(e^{-t})^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&e^{-t} \cdot (-t)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^{-t} \cdot (-1)
\\[3pt]~~~&=&-e^{-t}\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\) を \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dt\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-e^{-t}\,}{\,e^t\,}
\\[5pt]~~~&=&-e^{-t-t}
\\[3pt]~~~&=&-e^{-2t}\end{eqnarray}\)
次に、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) を合成関数の微分法を用いて \(t\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)&=&(-e^{-2t})^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&-e^{-2t} \cdot (-2t)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-e^{-2t} \cdot (-2)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-2t}\end{eqnarray}\)
また、\(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\) は \(\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\) の逆数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,dx\,}{\,dt\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,e^t\,}
\\[5pt]~~~&=&e^{-t}\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}=e^{-t}\) より、\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right)\) に \(\displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}\left(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,dt\,}{\,dx\,}
\\[5pt]~~~&=&2e^{-2t} \cdot e^{-t}
\\[3pt]~~~&=&2e^{-2t-t}
\\[3pt]~~~&=&2e^{-3t}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-e^{-2t}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,d^2y\,}{\,dx^2\,}=2e^{-3t}\) となる
