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第１章 平面のベクトル
第２章 空間のベクトル
第３章 複素数平面
第４章 式と曲線
第４章 式と曲線
第１節 ２次曲線
p.107 練習1\({\small (1)}~\)焦点 \((1~,~0)\)、準線 \(x=-1\)
\({\small (2)}~\)焦点 \((-3~,~0)\)、準線 \(x=3\)
\({\small (3)}~\)焦点 \(\left(-{\Large \frac{\,1\,}{\,4\,}}~,~0\right)\)、準線 \(x={\Large \frac{\,1\,}{\,4\,}}\)
p.107 練習2$$~~~y^2=12x$$
p.107 練習3\({\small (1)}~\)焦点 \((0~,~1)\)、準線 \(y=-1\)
\({\small (2)}~\)焦点 \(\left(0~,~-{\Large \frac{\,1\,}{\,8\,}}\right)\)、準線 \(y={\Large \frac{\,1\,}{\,8\,}}\)
p.109 練習4\({\small (1)}~\)長軸 \(10\)、短軸 \(6\)
焦点 \((4~,~0)~,~(-4~,~0)\)
\({\small (2)}~\)長軸 \(6\)、短軸 \(2\)
焦点 \((2\sqrt{2}~,~0)~,~(-2\sqrt{2}~,~0)\)
\({\small (3)}~\)長軸 \(4\sqrt{2}\)、短軸 \(2\sqrt{2}\)
焦点 \((\sqrt{6}~,~0)~,~(-\sqrt{6}~,~0)\)
p.110 練習5$${\small (1)}~\frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\frac{\,y^2\,}{\,5\,}=1$$$${\small (2)}~\frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2=1$$
p.110 練習6\({\small (1)}~\)長軸 \(6\)、短軸 \(4\)
焦点 \((0~,~\sqrt{5})~,~(0~,~-\sqrt{5})\)
\({\small (2)}~\)長軸 \(6\)、短軸 \(2\)
焦点 \((0~,~2\sqrt{2})~,~(0~,~-2\sqrt{2})\)
p.111 練習7$${\small (1)}~\frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\frac{\,x^2\,}{\,4\,}=1$$$${\small (2)}~\frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\frac{\,x^2\,}{\,16\,}=1$$
p.112 練習8楕円$$~~~\frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\frac{\,x^2\,}{\,9\,}=1$$
p.115 練習9\({\small (1)}~\)焦点 \((\sqrt{41}~,~0)~,~(-\sqrt{41}~,~0)\)
頂点 \((5~,~0)~,~(-5~,~0)\)
漸近線$$~~~y=\frac{\,4\,}{\,5\,}x~,~y=-\frac{\,4\,}{\,5\,}x$$
\({\small (2)}~\)焦点 \((\sqrt{5}~,~0)~,~(-\sqrt{5}~,~0)\)
頂点 \((1~,~0)~,~(-1~,~0)\)
漸近線$$~~~y=2x~,~y=-2x$$
\({\small (3)}~\)焦点 \((\sqrt{10}~,~0)~,~(-\sqrt{10}~,~0)\)
頂点 \((3~,~0)~,~(-3~,~0)\)
漸近線$$~~~y=\frac{\,1\,}{\,3\,}x~,~y=-\frac{\,1\,}{\,3\,}x$$
p.116 練習10$$~~~\frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1$$
p.116 練習11$$~~~\frac{\,x^2\,}{\,2\,}-\frac{\,y^2\,}{\,2\,}=1$$
p.117 練習12\({\small (1)}~\)焦点 \((0~,~\sqrt{13})~,~(0~,~-\sqrt{13})\)
頂点 \((0~,~2)~,~(0~,~-2)\)
漸近線$$~~~y=\frac{\,2\,}{\,3\,}x~,~y=-\frac{\,2\,}{\,3\,}x$$
\({\small (2)}~\)焦点 \((0~,~\sqrt{41})~,~(0~,~-\sqrt{41})\)
頂点 \((0~,~5)~,~(0~,~-5)\)
漸近線$$~~~y=\frac{\,5\,}{\,4\,}x~,~y=-\frac{\,5\,}{\,4\,}x$$
p.119 練習13$$~~~\frac{\,(x-3)^2\,}{\,4\,}+(y+2)^2=1$$ 焦点 \((\sqrt{3}+3~,~-2)~,~(-\sqrt{3}+3~,~-2)\)
p.119 練習14$$~~~(y-2)^2=4(x+1)$$ 焦点 \((0~,~2)\)
p.120 練習15\({\small (1)}~\)楕円 \({\Large \frac{\,x^2\,}{\,4\,}}+y^2=1\) を \(x\) 軸方向に \(-2\)、
\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動させた楕円
\({\small (2)}~\)放物線 \(y^2=16x\) を \(x\) 軸方向に \(-1\)、
\(y\) 軸方向に \(-4\) だけ平行移動させた放物線
\({\small (3)}~\)双曲線 \({\Large \frac{\,x^2\,}{\,9\,}}-{\Large \frac{\,y^2\,}{\,4\,}}=1\) を \(x\) 軸方向に \(2\)、
\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動させた双曲線
p.121 練習16 \(k< -\sqrt{2}~,~\sqrt{2}< k\) のとき、２個
\(k=\pm \sqrt{2}\) のとき、１個
\(-\sqrt{2}< k< \sqrt{2}\) のとき、０個
p.122 練習17$$~~~y=x+3~,~(-1~,~2)$$$$~~~y=-x-3~,~(-1~,~-2)$$
p.123 研究 練習1$${\small (1)}~y=x+1$$$${\small (2)}~x+y=4$$
第２節 媒介変数表示と極座標
p.127 練習18$${\small (1)}~y=x^2+2x-3$$
$${\small (2)}~y=-\frac{\,1\,}{\,4\,}x^2+x$$
p.127 練習19放物線$$~~~y=x^2+x$$
p.128 練習20$${\small (1)}~x=2\cos{\theta}~,~y=2\sin{\theta}$$$${\small (2)}~x=\sqrt{3}\cos{\theta}~,~y=\sqrt{3}\sin{\theta}$$
p.129 練習21$${\small (1)}~x=3\cos{\theta}~,~y=2\sin{\theta}$$$${\small (2)}~x=4\cos{\theta}~,~y=5\sin{\theta}$$
p.129 練習22[証明] \(x={\Large \frac{\,3\,}{\,\cos{\theta}\,}}~,~y=2\tan{\theta}\) より、
$$\begin{split}&\frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}-\frac{\,y^2\,}{\,2^2\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3^2\,}{\,3^2\cos^2{\theta}\,}-\frac{\,2^2\tan^2{\theta}\,}{\,2^2\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}-\tan^2{\theta}
\\[3pt]~~=~&1+\tan^2{\theta}-\tan^2{\theta}=1\end{split}$$
したがって、\({\Large \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}}-{\Large \frac{\,y^2\,}{\,2^2\,}}=1\) を満たすので、
点 \({\rm P}\) は双曲線上を動く [終]
p.129 練習23$$~~~x=\frac{\,5\,}{\,\cos{\theta}\,}~,~y=4\tan{\theta}$$
p.130 練習24\({\small (1)}~\)点 \((2~,~-1)\) が中心で半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)楕円$$~~~\frac{\,(x-1)^2\,}{\,9\,}+\frac{\,(y-3)^2\,}{\,4\,}=1$$
p.131 練習25$${\small (1)}~\left( \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi-\sqrt{3}~,~1 \right)$$$${\small (2)}~(2\pi~,~4)$$$${\small (3)}~(3\pi+2~,~2)$$$${\small (4)}~(4\pi~,~0)$$
p.133 練習27$${\small (1)}~(\sqrt{3}~,~1)$$$${\small (2)}~(1~,~1)$$$${\small (3)}~(-3~,~0)$$
p.134 練習28$${\small (1)}~\left(2\sqrt{2}~,~\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \right)$$$${\small (2)}~\left(2~,~\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \right)$$$${\small (3)}~\left(2~,~\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi \right)$$
p.135 練習29$$~~~r=\frac{\,1\,}{\,\sin{\theta}\,}$$
p.135 練習30\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
p.136 練習31$$~~~r^2(3-\cos{2\theta})=8$$
p.137 練習32$${\small (1)}~x+y=1$$$${\small (2)}~x^2+y^2-2y=0$$
p.137 練習33$$~~~3x^2-4x-y^2+1=0$$
補充問題
p.141 補充問題 5[証明] 直線 \(l\) 上の点\({\rm P}\) の極座標を \((r~,~\theta)\) とすると、$$~~~{\rm OP}\cos{\angle {\rm AOP}}={\rm OA}$$ここで、\({\rm OP}=r~,~{\rm OA}=3~,~\)
\(\angle{\rm AOP}=\theta-{\Large \frac{\,\pi\,}{\,4\,}}\)より、
$$~~~r\cos{\left( \theta-\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \right)}=3$$[終]
章末問題
p.143 章末問題Ｂ 12[証明] 円の中心を \({\rm C}(r_1~,~\theta_1)\)、円上の点を \({\rm P}(r~,~\theta)\) とすると、
３点 \({\rm O~,~C~,~P}\) で三角形ができるとき、\(\angle{\rm POC}=|\theta-\theta_1|\) で余弦定理より、$$~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos{(\theta-\theta_1)}=a^2$$これは点 \({\rm C}\) と \({\rm O}\) が一致するときや、点 \({\rm P}\) が直線 \({\rm OC}\) 上にあるときも成り立つ
逆に、点 \({\rm P}\) はこの円上の点である
したがって、円の極方程式は、$$~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos{(\theta-\theta_1)}=a^2$$[終]
