【新課程】数研出版：新編数学Ｃ[710]

p.53 練習1$${\small (1)}~(-1~,~3~,~2)$$$${\small (2)}~(1~,~-3~,~2)$$

p.53 練習2$${\small (1)}~7$$$${\small (2)}~5\sqrt{2}$$→ 空間の点の座標

p.53 深める$${\small (1)}~(1~,~-3~,~-2)$$$${\small (2)}~(-1~,~3~,~-2)$$$${\small (3)}~(-1~,~-3~,~2)$$$${\small (4)}~(-1~,~-3~,~-2)$$

p.54 練習3　等しいベクトル \(\overrightarrow{\rm BF}~,~\overrightarrow{\rm CG}~,~\overrightarrow{\rm DH}\)
　逆ベクトル \(\overrightarrow{\rm CB}~,~\overrightarrow{\rm GF}~,~\overrightarrow{\rm HE}\)

p.55 練習4$${\small (1)}~{\rm C}$$$${\small (2)}~{\rm B}$$

p.55 練習5$${\small (1)}~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$$${\small (2)}~-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$→ 空間ベクトルの基本と分解

p.57 練習6$${\small (1)}~x=6~,~y=-3~,~z=4$$$${\small (2)}~x=-1~,~y=2~,~z=-4$$

p.58 練習7$${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~5\sqrt{2}$$→ 空間ベクトルの成分と大きさ

p.59 練習8$${\small (1)}~(5~,~0~,~-2)$$$${\small (2)}~(-3~,~6~,~-2)$$$${\small (3)}~(11~,~3~,~-6)$$$${\small (4)}~(-10~,~15~,~-4)$$$${\small (5)}~(30~,~-30~,~4)$$$${\small (6)}~(21~,~-27~,~6)$$→ 空間ベクトルの成分と式変形

p.59 練習9$${\small (1)}~(1~,~-2~,~1)~,~\sqrt{6}$$$${\small (2)}~(-2~,~-4~,~4)~,~6$$→ 空間の点とベクトルの成分

p.61 練習10$${\small (1)}~15~,~45^\circ$$$${\small (2)}~0~,~90^\circ$$→ 空間ベクトルの内積②（成分利用）

p.61 練習11$$~~~135^\circ$$

p.62 練習12$$~~~(1~,~1~,~2)~,~(-1~,~-1~,~-2)$$→ 空間ベクトルの垂直条件

p.63 練習13$$~~~{ \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{4}}$$

p.65 練習14$$~~~\overrightarrow{\rm OP}={ \frac{1}{\,3\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{\,4\,}{\,9\,}}\overrightarrow{b}+{ \frac{\,2\,}{\,9\,}}\overrightarrow{c}$$→ 空間の４点が同一平面上にある条件

p.65 練習15[証明]
　\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\)
　\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{g}\)
とすると、
　\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
よって、
　　\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
　\(=\overrightarrow{g}\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
　\(=\left({\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{3}}\right)\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
　\(={\large \frac{1}{3}}(-|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2\)
　　　　\(+\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b})\)
ここで、正四面体であるので
　\(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|\)
また、それぞれのなす角が \(60^\circ\) で等しく長さも等しいので
　\(\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=0\)
\(\overrightarrow{\rm AG}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、\(\overrightarrow{\rm AG}\perp\overrightarrow{\rm BC}\)
したがって、\({\rm AG\perp BC}\) [終]

p.67 練習16$${\small (1)}~3\sqrt{6}$$$${\small (2)}~\left({ \frac{\,5\,}{\,2\,}}~,~0~,~-{ \frac{1}{\,2\,}}\right)$$$${\small (3)}~(3~,~-1~,~0)$$$${\small (4)}~(7~,~-9~,~4)$$

p.67 練習17$$~~~(2~,~1~,~2)$$

p.68 練習18$${\small (1)}~z=3$$$${\small (2)}~x=1$$$${\small (3)}~y=2$$

p.69 練習19$${\small (1)}~(x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=16$$$${\small (2)}~x^2+y^2+z^2=9$$$${\small (3)}~x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=20$$

p.70 練習20$$~~~(x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=22$$→ 球面の方程式

p.70 練習21　中心 \((0,-2,3)\)、半径 \(3\)

p.71 補充問題 2[証明]
　\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\)
とすると、
　\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
また、
　\(\overrightarrow{\rm OP}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
　\(\overrightarrow{\rm OQ}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
　\(\overrightarrow{\rm OR}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\)
\({\rm G’}\) は \(\triangle {\rm PQR}\) の重心であるので、
　\(\overrightarrow{\rm OG’}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{\rm OP}+\overrightarrow{\rm OQ}+\overrightarrow{\rm OR}}{3}}\)
\(=2\cdot{\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OG’}\)
したがって、３点 \(\rm O~,~G~,~G’\) は同一直線上にある [終]

p.72 章末問題Ａ 4[証明]
線分 \({\rm DM}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm P}\) とすると、
　\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+2\overrightarrow{\rm OM}}{3}}\)
また、
　\(\overrightarrow{\rm OD}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\)
　\(\overrightarrow{\rm OC}=2\overrightarrow{\rm OM}\)
これより、
　\(\overrightarrow{\rm OG}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+2\overrightarrow{\rm OM}}{3}}\)
したがって、点 \({\rm P}\) と点 \({\rm G}\) は一致するので、点 \({\rm G}\) は 線分 \({\rm DM}\) 上にあり \(2:1\) に内分する [終]