このページは、数研出版：新編数学Ｃ[710]
第４章 式と曲線
第４章 式と曲線
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新編数学Ｃ 第１章 平面のベクトル
新編数学Ｃ 第２章 空間のベクトル
新編数学Ｃ 第３章 複素数平面
新編数学Ｃ 第４章 式と曲線
第４章 式と曲線
第１節 ２次曲線
p.107 練習1\({\small (1)}~\)焦点 \((1~,~0)\)、準線 \(x=-1\)
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
\({\small (2)}~\)焦点 \((-3~,~0)\)、準線 \(x=3\)
\({\small (3)}~\)焦点 \(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~0\right)\)、準線 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
p.107 練習3\({\small (1)}~\)焦点 \((0~,~1)\)、準線 \(y=-1\)
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
\({\small (2)}~\)焦点 \(\left(0~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\right)\)、準線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\)
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
p.109 練習4\({\small (1)}~\)長軸 \(10\)、短軸 \(6\)
焦点 \((4~,~0)~,~(-4~,~0)\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
焦点 \((4~,~0)~,~(-4~,~0)\)
\({\small (2)}~\)長軸 \(6\)、短軸 \(2\)
焦点 \((2\sqrt{2}~,~0)~,~(-2\sqrt{2}~,~0)\)
\({\small (3)}~\)長軸 \(4\sqrt{2}\)、短軸 \(2\sqrt{2}\)
焦点 \((\sqrt{6}~,~0)~,~(-\sqrt{6}~,~0)\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
p.110 練習5\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,5\,}=1\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
p.110 練習6\({\small (1)}~\)長軸 \(6\)、短軸 \(4\)
焦点 \((0~,~\sqrt{5})~,~(0~,~-\sqrt{5})\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
焦点 \((0~,~\sqrt{5})~,~(0~,~-\sqrt{5})\)
\({\small (2)}~\)長軸 \(6\)、短軸 \(2\)
焦点 \((0~,~2\sqrt{2})~,~(0~,~-2\sqrt{2})\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
p.111 練習7\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}=1\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}=1\)
解法のPoint｜円と楕円の関係
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}=1\)
解法のPoint｜円と楕円の関係
p.112 練習8楕円
\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}=1\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}=1\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.115 練習9\({\small (1)}~\)焦点 \((\sqrt{41}~,~0)~,~(-\sqrt{41}~,~0)\)
頂点 \((5~,~0)~,~(-5~,~0)\)
漸近線\(~~~y=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}x~,~y=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}x\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
頂点 \((5~,~0)~,~(-5~,~0)\)
漸近線\(~~~y=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}x~,~y=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}x\)
\({\small (2)}~\)焦点 \((\sqrt{5}~,~0)~,~(-\sqrt{5}~,~0)\)
頂点 \((1~,~0)~,~(-1~,~0)\)
漸近線\(~~~y=2x~,~y=-2x\)
\({\small (3)}~\)焦点 \((\sqrt{10}~,~0)~,~(-\sqrt{10}~,~0)\)
頂点 \((3~,~0)~,~(-3~,~0)\)
漸近線\(~~~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x~,~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
p.116 練習10\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
p.116 練習11\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2\,}=1\)
解法のPoint｜直角双曲線の方程式
解法のPoint｜直角双曲線の方程式
p.117 練習12\({\small (1)}~\)焦点 \((0~,~\sqrt{13})~,~(0~,~-\sqrt{13})\)
頂点 \((0~,~2)~,~(0~,~-2)\)
漸近線\(~~~y=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x~,~y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
頂点 \((0~,~2)~,~(0~,~-2)\)
漸近線\(~~~y=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x~,~y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x\)
\({\small (2)}~\)焦点 \((0~,~\sqrt{41})~,~(0~,~-\sqrt{41})\)
頂点 \((0~,~5)~,~(0~,~-5)\)
漸近線\(~~~y=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x~,~y=-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
p.119 練習13\(~~~\displaystyle \frac{\,(x-3)^2\,}{\,4\,}+(y+2)^2=1\)
焦点 \((\sqrt{3}+3~,~-2)~,~(-\sqrt{3}+3~,~-2)\)
解法のPoint｜平行移動した2次曲線の方程式
焦点 \((\sqrt{3}+3~,~-2)~,~(-\sqrt{3}+3~,~-2)\)
解法のPoint｜平行移動した2次曲線の方程式
p.120 練習15\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2=1\) を \(x\) 軸方向に \(-2\)、
\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動させた楕円
\({\small (2)}~\)放物線 \(y^2=16x\) を \(x\) 軸方向に \(-1\)、
\(y\) 軸方向に \(-4\) だけ平行移動させた放物線
\({\small (3)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(2\)、
\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動させた双曲線
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動させた楕円
\({\small (2)}~\)放物線 \(y^2=16x\) を \(x\) 軸方向に \(-1\)、
\(y\) 軸方向に \(-4\) だけ平行移動させた放物線
\({\small (3)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(2\)、
\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動させた双曲線
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
p.121 練習16 \(k\lt -\sqrt{2}~,~\sqrt{2}\lt k\) のとき、２個
\(k=\pm \sqrt{2}\) のとき、１個
\(-\sqrt{2}\lt k\lt \sqrt{2}\) のとき、０個
解法のPoint｜2次曲線と直線の共有点の個数
\(k=\pm \sqrt{2}\) のとき、１個
\(-\sqrt{2}\lt k\lt \sqrt{2}\) のとき、０個
解法のPoint｜2次曲線と直線の共有点の個数
p.123 研究 練習1\({\small (1)}~y=x+1\)
解法のPoint｜放物線y²=4px上の接線の方程式
\({\small (2)}~x+y=4\)
解法のPoint｜楕円・双曲線の接線の方程式
解法のPoint｜放物線y²=4px上の接線の方程式
\({\small (2)}~x+y=4\)
解法のPoint｜楕円・双曲線の接線の方程式
補充問題
p.125 補充問題 1\({\small (1)}~y^2=4(x-1)\)
解法のPoint｜放物線の方程式の決定
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,(y-1)^2\,}{\,16\,}=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
解法のPoint｜放物線の方程式の決定
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,(y-1)^2\,}{\,16\,}=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
第２節 媒介変数表示と極座標
p.127 練習18\({\small (1)}~y=x^2+2x-3\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
\({\small (2)}~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^2+x\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
p.128 練習20\({\small (1)}~x=2\cos{\theta}~,~y=2\sin{\theta}\)
\({\small (2)}~x=\sqrt{3}\cos{\theta}~,~y=\sqrt{3}\sin{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
\({\small (2)}~x=\sqrt{3}\cos{\theta}~,~y=\sqrt{3}\sin{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
p.129 練習21\({\small (1)}~x=3\cos{\theta}~,~y=2\sin{\theta}\)
\({\small (2)}~x=4\cos{\theta}~,~y=5\sin{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
\({\small (2)}~x=4\cos{\theta}~,~y=5\sin{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
p.129 練習22[証明] \(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\cos{\theta}\,}~,~y=2\tan{\theta}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^2\,}{\,3^2\cos^2{\theta}\,}-\displaystyle \frac{\,2^2\tan^2{\theta}\,}{\,2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}-\tan^2{\theta}
\\[5pt]~~~&=&1+\tan^2{\theta}-\tan^2{\theta}=1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2^2\,}=1\) を満たすので、
点 \({\rm P}\) は双曲線上を動く [終]
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^2\,}{\,3^2\cos^2{\theta}\,}-\displaystyle \frac{\,2^2\tan^2{\theta}\,}{\,2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}-\tan^2{\theta}
\\[5pt]~~~&=&1+\tan^2{\theta}-\tan^2{\theta}=1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2^2\,}=1\) を満たすので、
点 \({\rm P}\) は双曲線上を動く [終]
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
p.129 練習23\(~~~x=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,\cos{\theta}\,}~,~y=4\tan{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
p.130 練習24\({\small (1)}~\)点 \((2~,~-1)\) が中心で半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)楕円\(~~~\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,(y-3)^2\,}{\,4\,}=1\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の平行移動
\({\small (2)}~\)楕円\(~~~\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,(y-3)^2\,}{\,4\,}=1\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の平行移動
p.131 練習25\({\small (1)}~\left( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi-\sqrt{3}~,~1 \right)\)
\({\small (2)}~(2\pi~,~4)\)
\({\small (3)}~(3\pi+2~,~2)\)
\({\small (4)}~(4\pi~,~0)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~(2\pi~,~4)\)
\({\small (3)}~(3\pi+2~,~2)\)
\({\small (4)}~(4\pi~,~0)\)
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p.133 練習27\({\small (1)}~(\sqrt{3}~,~1)\) \({\small (2)}~(1~,~1)\) \({\small (3)}~(-3~,~0)\)
解法のPoint｜極座標の表し方と直交座標に変換
解法のPoint｜極座標の表し方と直交座標に変換
p.134 練習28\({\small (1)}~\left(2\sqrt{2}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \right)\)
\({\small (2)}~\left(2~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \right)\)
\({\small (3)}~\left(2~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi \right)\)
解法のPoint｜直交座標の点を極座標に変換
\({\small (2)}~\left(2~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \right)\)
\({\small (3)}~\left(2~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi \right)\)
解法のPoint｜直交座標の点を極座標に変換
補充問題
p.141 補充問題 4\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\)
\({\small (2)}~(x-2)^2-\displaystyle \frac{\,(y-1)^2\,}{\,4\,}=1\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の平行移動
\({\small (2)}~(x-2)^2-\displaystyle \frac{\,(y-1)^2\,}{\,4\,}=1\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の平行移動
p.141 補充問題 5[証明] この直線 \(\ell\) 上の任意の点を \({\rm P}(r~,~\theta)\) とすると、
\(\triangle {\rm POA}\) は \(\angle {\rm PAO}=90°\) の直角三角形となるので、
\(\angle {\rm POA}=\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、
\(\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,r\,}\)
\(r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=3\)
したがって、極方程式は \(r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=3\) となる [終]
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\(\triangle {\rm POA}\) は \(\angle {\rm PAO}=90°\) の直角三角形となるので、
\(\angle {\rm POA}=\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、
\(\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,r\,}\)
\(r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=3\)
したがって、極方程式は \(r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=3\) となる [終]
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章末問題 式と曲線
p.142 章末問題A 1\({\small (1)}~(-2~,~0)\)
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
\({\small (2)}~\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}~,~0\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}~,~0\right)\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
\({\small (3)}~(2\sqrt{\,3\,}~,~0)~,~(-2\sqrt{\,3\,}~,~0)\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
\({\small (2)}~\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}~,~0\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}~,~0\right)\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
\({\small (3)}~(2\sqrt{\,3\,}~,~0)~,~(-2\sqrt{\,3\,}~,~0)\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
p.142 章末問題A 2\({\small (1)}~y^2=-4x\)
解法のPoint｜放物線の方程式の決定
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2\,}=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
\({\small (3)}~x^2-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
解法のPoint｜放物線の方程式の決定
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2\,}=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
\({\small (3)}~x^2-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
p.142 章末問題A 3\({\small (1)}~\)楕円、\((\sqrt{\,3\,}+1~,~0)~,~(-\sqrt{\,3\,}+1~,~0)\)
\({\small (2)}~\)放物線、\((0~,~2)\)
\({\small (3)}~\)双曲線、\((\sqrt{\,13\,}+1~,~-1)~,~(-\sqrt{\,13\,}+1~,~-1)\)
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
\({\small (2)}~\)放物線、\((0~,~2)\)
\({\small (3)}~\)双曲線、\((\sqrt{\,13\,}+1~,~-1)~,~(-\sqrt{\,13\,}+1~,~-1)\)
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
p.142 章末問題A 4\({\small (1)}~\)放物線 \((y-3)^2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x-4)\)
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}\) の \(x{\small ~≧~}0\) の部分
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}\) の \(x{\small ~≧~}0\) の部分
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
p.143 章末問題B 9 楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,(y+1)^2\,}{\,16\,}=1\)
焦点 \((0~,~2\sqrt{\,3\,}-1)~,~(0~,~-2\sqrt{\,3\,}-1)\)
解法のPoint｜平行移動した2次曲線の方程式
焦点 \((0~,~2\sqrt{\,3\,}-1)~,~(0~,~-2\sqrt{\,3\,}-1)\)
解法のPoint｜平行移動した2次曲線の方程式
p.143 章末問題B 10直線 \(y=4x\) の \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\lt x\lt\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) の部分
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p.143 章末問題B 11\({\small (1)}~x=\cos \theta~,~y=\sin \theta\)
\({\small (2)}~\)円 \(x^2+y^2=1\) ただし、点 \((-1~,~0)\) を除く
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
\({\small (2)}~\)円 \(x^2+y^2=1\) ただし、点 \((-1~,~0)\) を除く
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
p.143 章末問題B 12[証明] 円上の点を \({\rm P}(r~,~\theta)\) とすると、\({\rm OP}=r~,~\)\({\rm OC}=r_1~,~\)\({\rm CP}=a\) となるので、
\({\small [\,1\,]}~\theta \gt \theta_1\) のとき、
\(\angle {\rm POC}=\theta-\theta_1\) となるので、
\(\triangle {\rm POC}\) の余弦定理より、
\({\small [\,2\,]}~\theta \lt \theta_1\) のとき、
\(\angle {\rm COP}=\theta_1-\theta\) となるので、
\(\triangle {\rm COP}\) の余弦定理より、
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos (\theta_1-\theta)&=&\cos \left\{\,-(\theta-\theta_1)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&\cos (\theta-\theta_1)\end{eqnarray}\)
これより、
\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\)
\({\small [\,3\,]}~\theta=\theta_1\) のとき、
点 \({\rm P}\) は半直線 \({\rm OC}\) 上にあるので、
\({\rm OP}=r_1-a\) または \({\rm OP}=r_1+a\)
これより、\(r=r_1-a~,~r_1+a\) となる
ここで、\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\) に \(\theta=\theta_1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos 0&=&a^2
\\[3pt]~~~r^2-2r_1r+r_1^2&=&a^2
\\[3pt]~~~(r-r_1)^2&=&a^2
\\[3pt]~~~r-r_1&=&\pm a
\\[3pt]~~~r&=&r_1-a~,~r_1+a\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,3\,]}\) のときも極方程式は成り立つ
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) より、
\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\)
逆に、この極方程式を満たす点は条件を満たす
したがって、極方程式は \(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\) となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small [\,1\,]}~\theta \gt \theta_1\) のとき、
\(\angle {\rm POC}=\theta-\theta_1\) となるので、
\(\triangle {\rm POC}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2 \cdot r \cdot r_1 \cdot \cos (\theta-\theta_1)
\\[3pt]~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)
\\[3pt]~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)&=&a^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)
\\[3pt]~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)&=&a^2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,2\,]}~\theta \lt \theta_1\) のとき、
\(\angle {\rm COP}=\theta_1-\theta\) となるので、
\(\triangle {\rm COP}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&r_1^2+r^2-2 \cdot r_1 \cdot r \cdot \cos (\theta_1-\theta)
\\[3pt]~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta_1-\theta)
\\[3pt]~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta_1-\theta)&=&a^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta_1-\theta)
\\[3pt]~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta_1-\theta)&=&a^2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos (\theta_1-\theta)&=&\cos \left\{\,-(\theta-\theta_1)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&\cos (\theta-\theta_1)\end{eqnarray}\)
これより、
\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\)
\({\small [\,3\,]}~\theta=\theta_1\) のとき、
点 \({\rm P}\) は半直線 \({\rm OC}\) 上にあるので、
\({\rm OP}=r_1-a\) または \({\rm OP}=r_1+a\)
これより、\(r=r_1-a~,~r_1+a\) となる
ここで、\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\) に \(\theta=\theta_1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos 0&=&a^2
\\[3pt]~~~r^2-2r_1r+r_1^2&=&a^2
\\[3pt]~~~(r-r_1)^2&=&a^2
\\[3pt]~~~r-r_1&=&\pm a
\\[3pt]~~~r&=&r_1-a~,~r_1+a\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,3\,]}\) のときも極方程式は成り立つ
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) より、
\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\)
逆に、この極方程式を満たす点は条件を満たす
したがって、極方程式は \(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\) となる [終]
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