このページは、数研出版：新編数学Ｃ[710]
第１章 平面のベクトル
第１章 平面のベクトル
それぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にありますので参考にしてください。
また、解答は独自で解いたものですので、間違えやタイプミス等がありましたらご連絡ください。
数研出版：新編数学Ⅲ[710]の解答はこちらから↓
【新課程】数研出版：新編数学Ⅲ[710]
このページは、数研出版：新編数学Ⅲそれぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にあります...
yorikuwa.com
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内容...
yorikuwa.com
リンク
文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。
各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。
新編数学Ｃ 第１章 平面のベクトル
新編数学Ｃ 第２章 空間のベクトル
新編数学Ｃ 第３章 複素数平面
新編数学Ｃ 第４章 式と曲線
第１章 平面上のベクトル
第１節 ベクトルとその演算
p.9 練習1\({\small (1)}~\)①と⑧
\({\small (2)}~\)①と⑧、③と⑤と⑥
\({\small (3)}~\)①と⑧、②と⑦、③と④
\({\small (4)}~\)⑤と⑥
解法のPoint｜ベクトルの大きさと等しいベクトル
\({\small (2)}~\)①と⑧、③と⑤と⑥
\({\small (3)}~\)①と⑧、②と⑦、③と④
\({\small (4)}~\)⑤と⑥
解法のPoint｜ベクトルの大きさと等しいベクトル
p.11 練習3[証明] \(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BD}+\vec{\rm CA}\)
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BD})+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AD}+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm CA}+\vec{\rm AD}\)
\(=\vec{\rm CD}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BD})+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AD}+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm CA}+\vec{\rm AD}\)
\(=\vec{\rm CD}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
p.12 練習4[証明] \(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CA}\)
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC})+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AC}+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AA}\)
\(=\vec{0}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC})+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AC}+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AA}\)
\(=\vec{0}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
p.13 練習6\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
p.13 練習7\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
p.14 練習8\({\small (1)}~2\vec{a}\)
\({\small (2)}~-2\vec{a}+5\vec{b}\)
\({\small (3)}~10\vec{a}-5\vec{b}\)
\({\small (4)}~-7\vec{a}\)
解法のPoint｜ベクトルの式の計算方法
\({\small (2)}~-2\vec{a}+5\vec{b}\)
\({\small (3)}~10\vec{a}-5\vec{b}\)
\({\small (4)}~-7\vec{a}\)
解法のPoint｜ベクトルの式の計算方法
p.15 練習9\({\small (1)}~4\vec{e}~,~-4\vec{e}\)
解法のPoint｜単位ベクトルと平行なベクトルの表し方
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}\)
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトル
解法のPoint｜単位ベクトルと平行なベクトルの表し方
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}\)
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトル
p.16 練習10\({\small (1)}~2\vec{a}+\vec{b}\)
\({\small (2)}~-\vec{a}-\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\vec{a}-2\vec{b}\)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
\({\small (2)}~-\vec{a}-\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\vec{a}-2\vec{b}\)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
p.18 練習11\(~~~\vec{b}=(-2,4)~,~|\vec{b}|=2\sqrt{5}\)
\(~~~\vec{c}=(-2,-2)~,~|\vec{c}|=2\sqrt{2}\)
\(~~~\vec{d}=(3,-4)~,~|\vec{d}|=5\)
\(~~~\vec{e}=(-1,0)~,~|\vec{e}|=1\)
解法のPoint｜ベクトルの成分と大きさ
\(~~~\vec{c}=(-2,-2)~,~|\vec{c}|=2\sqrt{2}\)
\(~~~\vec{d}=(3,-4)~,~|\vec{d}|=5\)
\(~~~\vec{e}=(-1,0)~,~|\vec{e}|=1\)
解法のPoint｜ベクトルの成分と大きさ
p.19 練習12\({\small (1)}~(6~,~-2)\)
\({\small (2)}~(4~,~-2)\)
\({\small (3)}~\left(-1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)
\({\small (4)}~(1~,~1)\)
\({\small (5)}~(24~,~-10)\)
\({\small (6)}~(-26~,~10)\)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
\({\small (2)}~(4~,~-2)\)
\({\small (3)}~\left(-1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)
\({\small (4)}~(1~,~1)\)
\({\small (5)}~(24~,~-10)\)
\({\small (6)}~(-26~,~10)\)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
p.21 練習15\({\small (1)}~\vec{\rm AB}=(-4~,~4)~,~|\vec{\rm AB}|=4\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\vec{\rm AB}=(5~,~-4)~,~|\vec{\rm AB}|=\sqrt{41}\)
解法のPoint｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
\({\small (2)}~\vec{\rm AB}=(5~,~-4)~,~|\vec{\rm AB}|=\sqrt{41}\)
解法のPoint｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
p.25 練習20\({\small (1)}~135^\circ\) \({\small (2)}~30^\circ\) \({\small (3)}~90^\circ\)
\({\small (4)}~180^\circ\) \({\small (5)}~0^\circ\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (4)}~180^\circ\) \({\small (5)}~0^\circ\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.26 練習22\({\small (1)}~\vec{b}=(\sqrt{2},-2\sqrt{2})~,~(-\sqrt{2},2\sqrt{2})\)
\({\small (2)}~\vec{e}=\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,},-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,},\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\vec{e}=\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,},-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,},\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.27 練習24[証明]
\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)
\(\vec{b}=(b_1,b_2)\)
\(\vec{c}=(c_1,c_2)\)
とすると、
\(\vec{b}-\vec{c}=(b_1-c_1,b_2-c_2)\)
となる
(左辺)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})\)
\(=a_1(b_1-c_1)+a_2(b_2-c_2)\)
\(=a_1b_1+a_2b_2-a_1c_1-a_2c_2\)
(右辺)
\(=\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}\)
\(=(a_1b_1+a_2b_2)-(a_1c_1+a_2c_2)\)
したがって、
\(\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}\)
[終]
解法のPoint｜内積の性質と大きさの2乗
\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)
\(\vec{b}=(b_1,b_2)\)
\(\vec{c}=(c_1,c_2)\)
とすると、
\(\vec{b}-\vec{c}=(b_1-c_1,b_2-c_2)\)
となる
(左辺)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})\)
\(=a_1(b_1-c_1)+a_2(b_2-c_2)\)
\(=a_1b_1+a_2b_2-a_1c_1-a_2c_2\)
(右辺)
\(=\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}\)
\(=(a_1b_1+a_2b_2)-(a_1c_1+a_2c_2)\)
したがって、
\(\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}\)
[終]
解法のPoint｜内積の性質と大きさの2乗
p.28 練習25\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=|2\vec{a}+\vec{b}|^2\)
\(=(2\vec{a}+\vec{b})\cdot(2\vec{a}+\vec{b})\)
\(=2\vec{a}\cdot(2\vec{a}+\vec{b})+\vec{b}(2\vec{a}+\vec{b})\)
\(=2\vec{a}\cdot2\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(+2\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=4|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|2\vec{a}+\vec{b}|^2\)
\(=4|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明
(左辺)
\(=|2\vec{a}+\vec{b}|^2\)
\(=(2\vec{a}+\vec{b})\cdot(2\vec{a}+\vec{b})\)
\(=2\vec{a}\cdot(2\vec{a}+\vec{b})+\vec{b}(2\vec{a}+\vec{b})\)
\(=2\vec{a}\cdot2\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(+2\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=4|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|2\vec{a}+\vec{b}|^2\)
\(=4|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明
補充問題
p.30 補充問題 1\({\small (1)}~\) \( \vec{x}=2\vec{a}-\vec{b} \)
\({\small (2)}~\) \( \vec{x}=-2\vec{a}-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\vec{b} \)
解法のPoint｜等式を満たすベクトルの表し方
\({\small (2)}~\) \( \vec{x}=-2\vec{a}-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\vec{b} \)
解法のPoint｜等式を満たすベクトルの表し方
p.30 補充問題 2\({\small (1)}~\)[証明] 2つのベクトル \( \vec{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right) \) , \( \vec{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right) \) が平行のとき、
\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) のなす角を \( \theta \) とすると、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、
\( \cos 0^\circ=1 ~,~ \cos 180^\circ=-1 \) であるので、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 0^\circ=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 180^\circ=-|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
よって、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\vec{a}\cdot\vec{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2\\[3pt]
|\,\vec{a}\,|&=&\sqrt{{a_1}^{2}+{a_2}^{2}}\\[3pt]
|\,\vec{b}\,|&=&\sqrt{{b_1}^{2}+{b_2}^{2}}
\end{eqnarray}\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a_1\,b_1+a_2\,b_2\right)^{2}&=&\left({a_1}^{2}+{a_2}^{2}\right)\left({b_1}^{2}+{b_2}^{2}\right)\end{eqnarray}\)
両辺をそれぞれ展開して、整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}-2a_1\,a_2\,b_1\,b_2+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}&=&0
\\[3pt]~~~\left(a_1\,b_2-a_2\,b_1\right)^{2}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-a_2\,b_1&=&0
\end{eqnarray}\)
逆に、\( a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \) のとき、上の式変形を逆にたどると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\( |\,\vec{a}\,| \gt 0~,~|\,\vec{b}\,| \gt 0 \) より、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,}{|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|}=\pm\,1\)
よって、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、\(\vec{a}\,//\,\vec{b}\)
したがって、
\(\vec{a}\,//\,\vec{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) のなす角を \( \theta \) とすると、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、
\( \cos 0^\circ=1 ~,~ \cos 180^\circ=-1 \) であるので、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 0^\circ=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 180^\circ=-|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
よって、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\vec{a}\cdot\vec{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2\\[3pt]
|\,\vec{a}\,|&=&\sqrt{{a_1}^{2}+{a_2}^{2}}\\[3pt]
|\,\vec{b}\,|&=&\sqrt{{b_1}^{2}+{b_2}^{2}}
\end{eqnarray}\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a_1\,b_1+a_2\,b_2\right)^{2}&=&\left({a_1}^{2}+{a_2}^{2}\right)\left({b_1}^{2}+{b_2}^{2}\right)\end{eqnarray}\)
両辺をそれぞれ展開して、整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}-2a_1\,a_2\,b_1\,b_2+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}&=&0
\\[3pt]~~~\left(a_1\,b_2-a_2\,b_1\right)^{2}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-a_2\,b_1&=&0
\end{eqnarray}\)
逆に、\( a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \) のとき、上の式変形を逆にたどると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\( |\,\vec{a}\,| \gt 0~,~|\,\vec{b}\,| \gt 0 \) より、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,}{|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|}=\pm\,1\)
よって、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、\(\vec{a}\,//\,\vec{b}\)
したがって、
\(\vec{a}\,//\,\vec{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\) [終]
\({\small (2)}~x=-3\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.30 補充問題 3\({\small (1)}~\) \( -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \) \({\small (2)}~\) \( 150^{\circ} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
第２節 ベクトルと平面図形
p.31 練習27\({\small (1)}~\vec{c}-\vec{b}\)
\({\small (2)}~\vec{a}-\vec{c}\)
\({\small (3)}~\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルと2点を結ぶベクトル
\({\small (2)}~\vec{a}-\vec{c}\)
\({\small (3)}~\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルと2点を結ぶベクトル
p.33 練習28\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\vec{b}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{1}{\,4\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{1}{\,3\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\vec{b}\)
\({\small (4)}~2\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{1}{\,4\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{1}{\,3\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\vec{b}\)
\({\small (4)}~2\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
p.35 練習29\({\small (1)}~\vec{g}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{3}\)
\({\small (2)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})~,~{\rm G}(\vec{g})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=&3\vec{g}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}-\vec{g})+(\vec{b}-\vec{g})+(\vec{c}-\vec{g})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-3\vec{g}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}&=&3\vec{g}-3\vec{g}
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}=\vec{0}\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})~,~{\rm G}(\vec{g})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=&3\vec{g}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}-\vec{g})+(\vec{b}-\vec{g})+(\vec{c}-\vec{g})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-3\vec{g}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}&=&3\vec{g}-3\vec{g}
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}=\vec{0}\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.36 練習30\({\small (1)}~\vec{\rm AE}=\displaystyle \frac{1}{\,3\,}\vec{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{\rm AC}\)
\({\small (2)}~\vec{\rm AF}=-2\vec{\rm AB}+3\vec{\rm AC}\)
\({\small (3)}~\vec{\rm EF}=-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\vec{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\vec{\rm AC}\)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
\({\small (2)}~\vec{\rm AF}=-2\vec{\rm AB}+3\vec{\rm AC}\)
\({\small (3)}~\vec{\rm EF}=-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\vec{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\vec{\rm AC}\)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
p.37 練習31[証明]
平行四辺形 \({\rm ABCD}\) で、\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AD}=\vec{d}\) とおくと、
\(\vec{\rm AC}=\vec{d}+\vec{b}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:2\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{b}+3(\vec{d}+\vec{b})\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は対角線 \( \rm BD \) を \(3:5\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,5{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AD}\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,8\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\,\vec{\rm AE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm A~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
平行四辺形 \({\rm ABCD}\) で、\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AD}=\vec{d}\) とおくと、
\(\vec{\rm AC}=\vec{d}+\vec{b}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:2\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{b}+3(\vec{d}+\vec{b})\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は対角線 \( \rm BD \) を \(3:5\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,5{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AD}\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,8\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\,\vec{\rm AE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm A~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.38 練習32\(~\vec{\rm OP}=\displaystyle \frac{1}{\,2\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{1}{\,6\,}\vec{b}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.39 練習33[証明]
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AD}=\vec{d}\) とおくと、
\({\rm AB}={\rm AD}\) より、
\(|\vec{b}|=|\vec{d}|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AC}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{d}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DB}&=&\vec{\rm AB}-\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{b}-\vec{d}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AC}\) と \(\vec{\rm DB}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AC}\cdot\vec{\rm DB}&=&(\vec{b}+\vec{d})\cdot(\vec{b}-\vec{d})\\[5pt]~~~&=&|\vec{b}|^2-\vec{b}\cdot\vec{d}+\vec{d}\cdot\vec{b}-|\vec{d}|^2\\[5pt]~~~&=&|\vec{b}|^2-|\vec{d}|^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AC}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm DB}\neq\vec{0}\) より、\(\vec{\rm AC}\perp \vec{\rm DB}\)
したがって、\({\rm AC}\perp {\rm DB}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AD}=\vec{d}\) とおくと、
\({\rm AB}={\rm AD}\) より、
\(|\vec{b}|=|\vec{d}|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AC}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{d}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DB}&=&\vec{\rm AB}-\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{b}-\vec{d}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AC}\) と \(\vec{\rm DB}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AC}\cdot\vec{\rm DB}&=&(\vec{b}+\vec{d})\cdot(\vec{b}-\vec{d})\\[5pt]~~~&=&|\vec{b}|^2-\vec{b}\cdot\vec{d}+\vec{d}\cdot\vec{b}-|\vec{d}|^2\\[5pt]~~~&=&|\vec{b}|^2-|\vec{d}|^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AC}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm DB}\neq\vec{0}\) より、\(\vec{\rm AC}\perp \vec{\rm DB}\)
したがって、\({\rm AC}\perp {\rm DB}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.40 練習34
p.41 練習35\(~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}x=2-4t \\ y=-1+3t\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~3x+4y-2=0\)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
\(~~~3x+4y-2=0\)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
p.42 練習36
p.43 練習37\(\vec{\rm OA’}=\displaystyle \frac{1}{\,2\,}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=\displaystyle \frac{1}{\,2\,}\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、線分 \({\rm A’B’}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.45 研究 練習1\({\small (1)}~\)中心 \(\vec{a}\)、半径 \(3\)
\({\small (2)}~\)中心 \(\displaystyle \frac{1}{\,2\,}\vec{a}\)、半径 \(2\)
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
\({\small (2)}~\)中心 \(\displaystyle \frac{1}{\,2\,}\vec{a}\)、半径 \(2\)
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
p.45 研究 練習2[証明] 線分 \({\rm OA}\) を直径とする円より、\(\angle {\rm OPA}=90^\circ\) となり、\(\vec{\rm PO}\) と \(\vec{\rm PA}\) の内積は \(0\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm PO}\cdot\vec{\rm PA}&=&0\\[3pt]~~~(-\vec{p})\cdot(\vec{a}-\vec{p})&=&0\\[3pt]~~~\vec{p}\cdot(\vec{p}-\vec{a})&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜直径が条件の円のベクトル方程式
\(\vec{\rm PO}=-\vec{p}~,~\vec{\rm PA}=\vec{a}-\vec{p}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm PO}\cdot\vec{\rm PA}&=&0\\[3pt]~~~(-\vec{p})\cdot(\vec{a}-\vec{p})&=&0\\[3pt]~~~\vec{p}\cdot(\vec{p}-\vec{a})&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜直径が条件の円のベクトル方程式
補充問題
p.47 補充問題 4[証明]
平行四辺形 \({\rm OABC}\) で、\(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm OB}=\vec{a}+\vec{c}\)
点 \( \rm D \) は辺 \( \rm OA \) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OD}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\end{eqnarray}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm OC \) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{c}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DE}
&=&\vec{\rm OE}-\vec{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{c}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\vec{a}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は対角線 \( \rm OB \) を \(1:2\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OF}
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DF}
&=&\vec{\rm OF}-\vec{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DF}
&=&\displaystyle \frac{\,-\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\vec{a}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\vec{\rm DE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm D~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
平行四辺形 \({\rm OABC}\) で、\(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm OB}=\vec{a}+\vec{c}\)
点 \( \rm D \) は辺 \( \rm OA \) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OD}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\end{eqnarray}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm OC \) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{c}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DE}
&=&\vec{\rm OE}-\vec{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{c}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\vec{a}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は対角線 \( \rm OB \) を \(1:2\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OF}
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DF}
&=&\vec{\rm OF}-\vec{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DF}
&=&\displaystyle \frac{\,-\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\vec{a}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\vec{\rm DE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm D~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.47 補充問題 5[証明]
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}~,~\vec{\rm AH}=\vec{h}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BH}\cdot\vec{\rm AC}&=&0
\\[5pt]~~~(\vec{h}-\vec{b})\cdot\vec{c}&=&0
\\[5pt]~~~\vec{h}\cdot\vec{c}-\vec{b}\cdot\vec{c}&=&0
\\[5pt]~~~\vec{h}\cdot\vec{c}&=&\vec{b}\cdot\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm CH}\cdot\vec{\rm AB}&=&0
\\[5pt]~~~(\vec{h}-\vec{c})\cdot\vec{b}&=&0
\\[5pt]~~~\vec{h}\cdot\vec{b}-\vec{c}\cdot\vec{b}&=&0
\\[5pt]~~~\vec{h}\cdot\vec{b}&=&\vec{b}\cdot\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}\cdot\vec{\rm BC}&=&\vec{h}\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\vec{h}\cdot\vec{c}-\vec{h}\cdot\vec{b}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&\vec{b}\cdot\vec{c}-\vec{b}\cdot\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\rm AH\perp BC\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}~,~\vec{\rm AH}=\vec{h}\) とおくと、
\(\vec{\rm BH}\perp\vec{\rm AC}\) より、内積は \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BH}\cdot\vec{\rm AC}&=&0
\\[5pt]~~~(\vec{h}-\vec{b})\cdot\vec{c}&=&0
\\[5pt]~~~\vec{h}\cdot\vec{c}-\vec{b}\cdot\vec{c}&=&0
\\[5pt]~~~\vec{h}\cdot\vec{c}&=&\vec{b}\cdot\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm CH}\perp\vec{\rm AB}\) より、内積は \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm CH}\cdot\vec{\rm AB}&=&0
\\[5pt]~~~(\vec{h}-\vec{c})\cdot\vec{b}&=&0
\\[5pt]~~~\vec{h}\cdot\vec{b}-\vec{c}\cdot\vec{b}&=&0
\\[5pt]~~~\vec{h}\cdot\vec{b}&=&\vec{b}\cdot\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AH}\) と \(\vec{\rm BC}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}\cdot\vec{\rm BC}&=&\vec{h}\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\vec{h}\cdot\vec{c}-\vec{h}\cdot\vec{b}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&\vec{b}\cdot\vec{c}-\vec{b}\cdot\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AH}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm BC}\neq\vec{0}\) より、\(\vec{\rm AH}\perp \vec{\rm BC}\)
したがって、\(\rm AH\perp BC\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
章末問題 平面のベクトル
p.48 章末問題A 1\({\small (1)}~\) \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
\({\small (2)}~\) \( -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
\({\small (3)}~\) \( -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
\({\small (2)}~\) \( -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
\({\small (3)}~\) \( -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
p.48 章末問題A 2\({\small (1)}~\) \( t=-3~,~1 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(\vec{a}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~\vec{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{c}&=&\vec{a}+t\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3+t\\[2pt]1+2t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
これより、\(|\,\vec{c}\,|^2\) を計算すると、
よって、
\(|\,\vec{c}\,|^2\) は、\(t=-1\) のとき最小
\(t=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{c}&=&\left(\,\begin{array}{c}3+(-1)\\[2pt]1+2\cdot(-1)\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{b}\cdot\vec{c}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{b}\cdot\vec{c}&=&1\cdot 2+2\cdot(-1)
\\[3pt]~~~&=&2-2
\\[3pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,\vec{c}\,|\) が最小となるとき、\(\vec{b}\perp\vec{c}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(\vec{a}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~\vec{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{c}&=&\vec{a}+t\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3+t\\[2pt]1+2t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
これより、\(|\,\vec{c}\,|^2\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~|\,\vec{c}\,|^2&=&(3+t)^2+(1+2t)^2
\\[3pt]~~~&=&9+6t+t^2+1+4t+4t^2
\\[3pt]~~~&=&5t^2+10t+10
\\[3pt]~~~&=&5\left(t^2+2t\right)+10
\\[5pt]~~~&=&5\left(t^2+2t+1-1\right)+10
\\[5pt]~~~&=&5\left(t+1\right)^2+5\left(-1\right)+10
\\[5pt]~~~&=&5\left(t+1\right)^2+5
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&9+6t+t^2+1+4t+4t^2
\\[3pt]~~~&=&5t^2+10t+10
\\[3pt]~~~&=&5\left(t^2+2t\right)+10
\\[5pt]~~~&=&5\left(t^2+2t+1-1\right)+10
\\[5pt]~~~&=&5\left(t+1\right)^2+5\left(-1\right)+10
\\[5pt]~~~&=&5\left(t+1\right)^2+5
\end{eqnarray}\)
よって、
\(|\,\vec{c}\,|^2\) は、\(t=-1\) のとき最小
\(t=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{c}&=&\left(\,\begin{array}{c}3+(-1)\\[2pt]1+2\cdot(-1)\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{b}\cdot\vec{c}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{b}\cdot\vec{c}&=&1\cdot 2+2\cdot(-1)
\\[3pt]~~~&=&2-2
\\[3pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,\vec{c}\,|\) が最小となるとき、\(\vec{b}\perp\vec{c}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 章末問題A 4点 \({\rm P}\) は、辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分する点
点 \({\rm Q}\) は、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm M}\) としたとき、辺 \({\rm BM}\) の中点
解法のPoint｜係数の和が一定の値の点の存在範囲
点 \({\rm Q}\) は、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm M}\) としたとき、辺 \({\rm BM}\) の中点
解法のPoint｜係数の和が一定の値の点の存在範囲
p.48 章末問題A 5\({\small (1)}~\)\(\vec{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}\)
\({\small (2)}~\) [証明]
点 \( \rm F \) は辺 \( \rm CA \) を \(2:3\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{\rm AC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm BP}\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BP}
&=&\vec{\rm AP}-\vec{\rm AB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}-\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm BF}\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BF}
&=&\vec{\rm AF}-\vec{\rm AB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{c}-\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&-\vec{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}\) を式変形して、\({\small [\,6\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BP}
&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\left(-\vec{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,\vec{\rm BF} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,6\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm B~,~P~,~F \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\) [証明]
点 \( \rm F \) は辺 \( \rm CA \) を \(2:3\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{\rm AC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm BP}\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BP}
&=&\vec{\rm AP}-\vec{\rm AB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}-\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm BF}\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BF}
&=&\vec{\rm AF}-\vec{\rm AB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{c}-\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&-\vec{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}\) を式変形して、\({\small [\,6\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BP}
&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\left(-\vec{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,\vec{\rm BF} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,6\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm B~,~P~,~F \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.49 章末問題B 6\({\small (1)}~\) 最大値 \( 2 \)、最小値 \( -2 \)
\({\small (2)}~\) 最大値 \( 3 \)、最小値 \( 1 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\) 最大値 \( 3 \)、最小値 \( 1 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.49 章末問題B 7[証明] \(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OB}=\vec{b}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
重心 \(\rm G\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm OH}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm OB}+\vec{\rm OC}\) より、
\(\vec{\rm OH}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\vec{\rm OH}
\end{eqnarray}\)
点 \(\rm O\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|=|\,\vec{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}&=&\vec{h}-\vec{a}
\\[3pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BC}=\vec{c}-\vec{b}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}\cdot\vec{\rm BC}
&=&(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{c}+\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&|\,\vec{c}\,|^{2}-|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
同様に、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BH}\perp{\rm CA}~,~{\rm CH}\perp{\rm AB}
\end{eqnarray}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
重心 \(\rm G\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm OH}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm OB}+\vec{\rm OC}\) より、
\(\vec{\rm OH}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\vec{\rm OH}
\end{eqnarray}\)
したがって、 \(\rm O~,~G~,~H\) は一直線上にある [終]
[証明] \(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OB}=\vec{b}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}~,~\vec{\rm OH}=\vec{h}\) とおくと、
点 \(\rm O\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|=|\,\vec{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm OH}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm OB}+\vec{\rm OC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AH}\) と \(\vec{\rm BC}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}&=&\vec{h}-\vec{a}
\\[3pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BC}=\vec{c}-\vec{b}
\end{eqnarray}\)
よって、内積を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}\cdot\vec{\rm BC}
&=&(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{c}+\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&|\,\vec{c}\,|^{2}-|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AH}\perp{\rm BC}\)
同様に、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BH}\perp{\rm CA}~,~{\rm CH}\perp{\rm AB}
\end{eqnarray}\)
以上より、点 \(\rm H\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.49 章末問題B 8\({\small (1)}~\) \( k=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,} \) \({\small (2)}~\) \( 2:3 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.49 章末問題B 9\({\small (1)}~\) \( k=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} \)
\({\small (2)}~\) \( {\rm H}\left(\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\right)~,~{\rm AH}=2 \)
解法のPoint｜法線ベクトルと2直線のなす角
\({\small (2)}~\) \( {\rm H}\left(\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\right)~,~{\rm AH}=2 \)
解法のPoint｜法線ベクトルと2直線のなす角
p.49 章末問題B 10\({\small (1)}~\) \( \displaystyle \frac{\,5\sqrt{2}+5\,}{\,2\,} \) 時間後
\({\small (2)}~\) 時速 \( 20\sqrt{2} ~{\rm km}\)
\({\small (2)}~\) 時速 \( 20\sqrt{2} ~{\rm km}\)
次のページ「第２章 空間のベクトル」
