【新課程】東京書籍：Advanced数学Ⅲ[701]

p.103 問1\({\small (1)}~\)接線の方程式は、$$~~~y=2x-2$$法線の方程式は、$$~~~y=-\frac{\,1\,}{\,2\,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}$$\({\small (2)}~\)接線の方程式は、$$~~~y=-\frac{\,1\,}{\,4\,}x+1$$法線の方程式は、$$~~~y=4x-\frac{\,15\,}{\,2\,}$$

p.103 問2$$~~~y=2x+1-\frac{\,\pi\,}{\,2\,}$$

p.103 問3$$~~~y=ex$$

p.104 問4$$~~~y=\frac{\,3\,}{\,2\,}x-\frac{\,5\,}{\,2\,}$$

p.104 問5\({\small (1)}~\)[証明] 楕円上の点 \((x_1~,~y_1)\) より、$$~~~\frac{\,{x_1}^2\,}{\,a^2\,}+\frac{\,{y_1}^2\,}{\,b^2\,}=1~~~\cdots{\large ①}$$また、両辺を \(x\) で微分すると、$$~~~\frac{\,2x\,}{\,a^2\,}+\frac{\,2y\,}{\,b^2\,}y’=0$$\(y\neq 0\) のとき、$$~~~y’=-\frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}$$よって、接線の傾きは \(-{\large \frac{\,b^2x_1\,}{\,a^2y_1\,}}\) となる [終]
 
\({\small (2)}~\)接線の傾きは \(-{\large \frac{\,b^2x_1\,}{\,a^2y_1\,}}\) であるので \(y_1\neq 0\) での接線の方程式は、$$\begin{eqnarray}~~~y-y_1&=&-\frac{\,b^2x_1\,}{\,a^2y_1\,}(x-x_1)
\\[3pt]~~~\frac{\,b^2x_1\,}{\,a^2y_1\,}x+y&=&\frac{\,b^2x_1\,}{\,a^2y_1\,}x_1+y_1
\\[3pt]~~~\frac{\,x_1x\,}{\,a^2\,}+\frac{\,y_1y\,}{\,b^2\,}&=&\frac{\,{x_1}^2\,}{\,a^2\,}+\frac{\,{y_1}^2\,}{\,b^2\,}\end{eqnarray}$$①を代入すると、$$~~~\frac{\,x_1x\,}{\,a^2\,}+\frac{\,y_1y\,}{\,b^2\,}=1$$ここで、\(y_1=0\) のとき接点が \((\pm a~,~0)\) となり接線の方程式は \(x=\pm a\)
これは \((x_1~,~y_1)=(\pm a~,~0)\) のとき上の式を満たす
以上より、接線の方程式は$$~~~\frac{\,x_1x\,}{\,a^2\,}+\frac{\,y_1y\,}{\,b^2\,}=1$$[終]

p.105 問6$${\small (1)}~y=-\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,6\,}x+\frac{\,2\sqrt{3}\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~y=\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}x-1$$

p.106 問7$${\small (1)}~c=2$$$${\small (2)}~c=\frac{\,1\,}{\,\log_{}2\,}$$

p.107 問8[証明] \(f(x)=e^x\) とおくと、\(f'(x)=e^x\)
\(f(x)\) はすべて実数 \(x\) で連続で微分可能であるから、平均値の定理より、$$~~~\frac{\,e^a-e^0\,}{\,a-0\,}=e^c~,~0< c < a$$これを満たす実数 \(c\) が存在する
ここで、\(f(x)\) は単調増加するので \(e^0< e^c < e^a\) となり、$$~~~1< \frac{\,e^a-1\,}{\,a\,} < e^a$$したがって、$$~~~a< e^a-1 < ae^a$$[終]

p.108 問9閉区間 \([a~,~b]\) において、\(a≦u < v≦b\) を満たす任意の \(u~,~v\) をとると、平均値の定理より、$$~~~f(v)-f(u)=(v-u)f'(c)~,~u< c< v$$これを満たす実数 \(c\) が存在する
 
２
[証明] \(v-u>0~,~f'(c)<0\) より、$$~~~f(v)-f(u)< 0$$これより、\(f(u)> f(v)\) であるので、閉区間 \([a~,~b]\) で単調減少 [終]
 
３
[証明] \(f'(c)=0\) より、$$\begin{eqnarray}~~~f(v)-f(u)&=&0\\[2pt]~~~f(u)&=&f(v)\end{eqnarray}$$\(a≦u < v≦b\) を満たす任意の \(u~,~v\) に対して \(f(u)=f(v)\) であるので、閉区間 \([a~,~b]\) で定数 [終]

p.109 問10\({\small (1)}~\)
　区間 \(-1≦x≦0~,~2≦x\) で増加
　区間 \(x≦-1~,~0≦x≦2\) で減少
\({\small (2)}~\)
　区間 \(x≦1\) で増加
　区間 \(1≦x\) で減少
\({\small (3)}~\)
　区間 \({\large \frac{\,1\,}{\,e\,}}≦x\) で増加
　区間 \(0< x≦{\large \frac{\,1\,}{\,e\,}}\) で減少

p.111 問11\({\small (1)}~\)
　\(x={\large \frac{\,\pi\,}{\,6\,}}\) のとき、極大値 \({\large \frac{\,3\sqrt{3}\,}{\,4\,}}\)
　\(x={\large \frac{\,5\,}{\,6\,}}\pi\) のとき、極大値 \(-{\large \frac{\,3\sqrt{3}\,}{\,4\,}}\)
\({\small (2)}~\)
　\(x=\sqrt{e}\) のとき、極大値 \({\large \frac{\,1\,}{\,2e\,}}\)
　極小値なし

p.112 問12\({\small (1)}~\)
　\(x=-2\) のとき、極大値 \(2\)
　\(x=0\) のとき、極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
　\(x=1\) のとき、極大値 \(5\)
　\(x=-2\) のとき、極小値 \(-4\)
　\(x=2\) のとき、極小値 \(4\)

p.113 問13$$~~~a=-2$$　\(x=1\) のとき、極大値 \({\large \frac{\,1\,}{\,e^2\,}}\)
　\(x=0\) のとき、極小値 \(0\)

p.115 問14すべての区間で下に凸

p.115 問15\({\small (1)}~\)
　区間 \(x< -{\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}}~,~{\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}} < x\) で下に凸
　区間 \(-{\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}} < x < {\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}}\) で上に凸
\({\small (2)}~\)
　区間 \(0< x < {\large \frac{\,\pi\,}{\,4\,}}~,~{\large \frac{\,3\,}{\,4\,}}\pi < x < 2\pi\) で上に凸
　区間 \({\large \frac{\,\pi\,}{\,4\,}} < x < {\large \frac{\,3\,}{\,4\,}}\pi\) で下に凸

p.116 問16\({\small (1)}~\)
　区間 \(x≦-1~,~0≦x\) のとき、下に凸
　区間 \(-1≦x≦0\) のとき、上に凸
　変曲点 \((0~,~1)~,~(-1~,~0)\)
\({\small (2)}~\)
　区間 \(x≦-2\) のとき、下に凸
　区間 \(-2≦x\) のとき、上に凸
　変曲点 \(\left(-2~,~-{\large \frac{\,2\,}{\,e^2\,}}\right)\)

p.117 問17

p.118 問18\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

p.120 問19　\(x=-3\) のとき、極大値 \({\large \frac{\,6\,}{\,e^3\,}}\)
　\(x=1\) のとき、極小値 \(-2e\)

p.122 問1　\(x=\sqrt{2}\) のとき、最大値 \(2\)
　\(x=-\sqrt{2}\) のとき、最小値 \(-2\)

p.123 問2$$~~~\frac{\,3\sqrt{3}\,}{\,4\,}$$

p.124 問3[証明] \(f(x)=2\sqrt{x}-\log_{}x\) とすると、$$~~~f'(x)=\frac{\,1\,}{\,\sqrt{x}\,}-\frac{\,1\,}{\,x\,}=\frac{\,\sqrt{x}-1\,}{\,x\,}$$\(x> 1\) のとき \(f'(x)> 0\) であるので、\(f(x)\) は \(x≧ 1\) で単調増加
また、\(f(1)=2>0\) であるので \(x> 1\) のとき \(f(x)> 0\)
したがって、$$~~~2\sqrt{x}>\log_{}x$$[終]

p.124 問4[証明] \(f(x)=e^x-\left(1+x+{\large \frac{\,x^2\,}{\,2\,}}\right)\) とすると、$$~~~f'(x)=e^x-(1+x)$$例題3より \(f'(x)=e^x-(1+x)> 0\)
よって、\(f(x)\) は \(x≧0\) で単調増加
また、\(f(0)=0\) であるので \(x> 0\) のとき \(f(x)> 0\)
したがって、\(x> 0\) で$$~~~e^x > 1+x+\frac{\,x^2\,}{\,2\,}$$[終]

p.125 問5\({\small (1)}~\)
　\(a> 1\) のとき、２個
　\(a=1\) のとき、１個
　\(a< 1\) のとき、０個
\({\small (2)}~\)
　\(a> {\large \frac{\,27\,}{\,4\,}}\) のとき、３個
　\(a={\large \frac{\,27\,}{\,4\,}}\) のとき、２個
　\(a< {\large \frac{\,27\,}{\,4\,}}\) のとき、１個

p.126 問6　\(1\) 秒後で、座標 \(4\)
　\(3\) 秒後で、座標 \(0\)

p.128 問7　速度 \(\overrightarrow{v}=(2~,~10-10t)\)
　加速度 \(\overrightarrow{a}=(0~,~-10)\)

p.129 問8$$~~~\overrightarrow{v}=( a(1-\cos{t})~,~a\sin{t} )$$$$~~~\overrightarrow{a}=( a\sin{t}~,~a\cos{t} )$$[証明] 加速度の大きさは、$$\begin{eqnarray}~~~|\overrightarrow{a}|&=&\sqrt{a^2\sin^2{t}+a^2\cos^2{t}}\\[2pt]~~~&=&\sqrt{a^2}\\[2pt]~~~&=&|a|\end{eqnarray}$$したがって、加速度の大きさは一定 [終]

p.129 問9$$~~~\frac{\,1\,}{\,10\pi\,}~{\rm cm/s}$$

p.130 問10[証明] \(f(x)=\log_{}x\) とすると、\(f'(x)={\large \frac{\,1\,}{\,x\,}}\) となるので、
\(h\) が \(0\) に近いとき、$$~~~f(a+h)≒f(a)+f'(a)h$$したがって、$$~~~\log_{}(a+h)≒\log_{}a+\frac{\,h\,}{\,a\,}$$[終]

p.131 問11\({\small (1)}~\)[証明] \(f(x)=e^x\) とすると、\(f'(x)=e^x\) となるので、\(x\) が \(0\) に近いとき、$$~~~e^x≒e^0+e^0\cdot x$$したがって、$$~~e^x≒1+x$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] \(f(x)=\tan{x}\) とすると、\(f'(x)={\large \frac{\,1\,}{\,\cos^2{x}\,}}\) となるので、\(x\) が \(0\) に近いとき、$$~~~\tan{x}≒\tan{0}+\frac{\,1\,}{\,\cos^2{0}\,}\cdot x$$したがって、$$~~\tan{x}≒x$$[終]

p.131 問12$${\small (1)}~0.515$$$${\small (2)}~0.694$$

p.132 問題 7[証明] \(f(x)={\large \frac{\,x\,}{\,1-x\,}}-\log_{}(1+x)\) とすると、$$\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&\frac{\,1\,}{\,(1-x)^2\,}-\frac{\,1\,}{\,1+x\,}
\\[3pt]~~~&=&\frac{\,x(3-x)\,}{\,(1-x)^2(1+x)\,}
\end{eqnarray}$$\(0< x < 1\) のとき \(f'(x)> 0\) であるので、\(f(x)\) は \(0≦x< 1\) で単調増加
また、\(f(0)=0\) であるので \(0 < x < 1\) のとき \(f(x)> 0\)
したがって、$$~~~\log_{}(1+x)< \frac{\,x\,}{\,1-x\,}$$[終]

p.132 問題 11[証明] \(f(x)=\cos{x}\) とすると、\(f'(x)=-\sin{x}\) となるので、
\(h\) が \(0\) に近いとき、$$~~~f(a+h)≒f(a)+f'(a)h$$したがって、$$~~~\cos{(a+h)}≒\cos{a}-h\sin{a}$$[終]

p.134 練習問題Ａ 2\({\small (1)~,~(2)}~\)[証明] 点 \({\rm A}\) の座標を \((a~,~\sqrt{a})\) ただし、\(a> 0\) とすると、
\(f(x)=\sqrt{x}\) として、\(f'(x)={\large \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x}\,}}\)
これより、法線の方程式は、$$\begin{eqnarray}~~~y-\sqrt{a}&=&-2\sqrt{a}(x-a)\\[2pt]~~~y&=&-2\sqrt{a}x+(2a+1)\sqrt{a}\end{eqnarray}$$これより、\(x\) 軸と交わる点 \({\rm N}\) の \(x\) 座標は \(y=0\) より、$$~~~x=\frac{\,2a+1\,}{\,2\,}$$また、点 \({\rm H}(a~,~0)\) より、$$~~~{\rm HN}=\frac{\,2a+1\,}{\,2\,}-a=\frac{\,1\,}{\,2\,}$$したがって、線分 \({\rm HN}\) の長さは一定 [終]

p.134 練習問題Ａ 5[証明] \(f(x)=\cos{x}-1+{\large \frac{\,x^2\,}{\,2\,}}\) とすると、$$~~~f'(x)=-\sin{x}+x$$$$~~~f”(x)=-\cos{x}+1$$\(f”(x)=0\) となるのは \(x=2\pi k\) ( \(k\) は整数 )のときで、それ以外では \(f”(x)> 0\)
よって、\(f'(x)\) は単調増加
また、\(f'(0)=0\) である
これより、\(x> 0\) のとき \(f'(x)> 0\) であるので、\(f(x)\) は \(x≧0\) で単調増加
また、\(f(0)=0\) であるので \(x> 0\) のとき \(f(x)> 0\)
したがって、\(x> 0\) で$$~~~\cos{x}> 1-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}$$[終]

p.135 練習問題Ｂ 7[証明] \(y^2=4px\) 上の点 \((x_1~,~y_1)\) より、$$~~~y_1^2=4px_1$$また、\(y^2=4px\) の両辺を \(x\) で微分すると、$$~~~2y\cdot y’=4p$$\(y\neq 0\) のとき、$$~~~y’=\frac{\,2p\,}{\,y\,}$$よって、傾きは \({\large \frac{\,2p\,}{\,y_1\,}}\) となり、\(y_1\neq 0\) での接線の方程式は、$$~~~y-y_1=\frac{\,2p\,}{\,y_1\,}(x-x_1)$$\(y_1^2=4px_1\) を代入すると、$$\begin{eqnarray}~~~y_1y-4px_1&=&2p(x+x_1)\\[2pt]~~~y_1y&=&2p(x+x_1)\end{eqnarray}$$また、\(y=0\) のとき接点が \((0~,~0)\) となり接線が \(x=0\)
これは \((x_1~,~y_1)=(0~,~0)\) のとき上の式を満たす
以上より、接線の方程式は \(y_1y=2p(x+x_1)\) [終]

p.135 練習問題Ｂ 10\({\small (1)}~\)[証明] \(\log_{}x=t\) とおくと、\(x=e^t\) となるので、$$~~~f(x)=\frac{\,t\,}{\,e^t\,}$$\(x\to \infty\) のとき \(t\to \infty\) であるので、$$~~~\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{t \to\infty}\frac{\,t\,}{\,e^t\,}=0$$[終]
$${\small (2)}~e^\pi > \pi^e$$

p.135 練習問題Ｂ 11[証明] \(f(x)=\log_{}(1+x)-x+{\large \frac{\,x^2\,}{\,2\,}}\) とすると、$$~~~f'(x)=\frac{\,1\,}{\,1+x\,}-1+x=\frac{\,x^2\,}{\,1+x\,}$$\(x> 0\) のとき \(f'(x)> 0\) であるので、\(f(x)\) は \(x≧0\) で単調増加
また、\(f(0)=0\) であるので \(x> 0\) のとき \(f(x)> 0\)
したがって、\(x> 0\) で$$~~~x-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}< \log_{}(1+x)$$
次に、\(g(x)=x-{\large \frac{\,x^2\,}{\,2\,}}+{\large \frac{\,x^3\,}{\,3\,}}-\log_{}(1+x)\) とすると、$$~~~g'(x)=1-x+x^2-\frac{\,1\,}{\,1+x\,}=\frac{\,x^3\,}{\,1+x\,}$$\(x> 0\) のとき \(g'(x)> 0\) であるので、\(g(x)\) は \(x≧0\) で単調増加
また、\(g(0)=0\) であるので \(x> 0\) のとき \(g(x)> 0\)
したがって、\(x> 0\) で$$~~~\log_{}(1+x)< x-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}+\frac{\,x^3\,}{\,3\,}$$
以上より、\(x> 0\) で$$\small~~~x-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}< \log_{}(1+x)< x-\frac{\,x^2\,}{\,2\,}+\frac{\,x^3\,}{\,3\,}$$
[終]

p.137 発展 問1$${\small (1)}~\frac{\,4\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}$$